под-касательной, сделанное в обычном дифференциальном методе основой
определения касательной; в правиле Барроу это допущение выступает во всей
своей наивной наготе. Был найден простой способ определения подкасательной;
приемы Роберваля и ферма сводятся к чему-то сходному - метод нахождения
наибольших и наименьших значений, из которого исходил Ферма, покоится на тех
же основаниях и на том же образе действия. Математической страстью того
времени было находить так называемые методы, т. е. указанного рода правила,
и притом делать из них секрет, что было не только легко, но в некотором
отношении даже нужно, и нужно по той же причине, почему это было легко, а
именно потому, что изобретатели нашли лишь эмпирически внешнее правило, а не
метод, т. е. не то, чтб выведено из признанных принципов. Подобные так
называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени; Ньютон также
воспринял их от своего времени, а непосредственно - от своего учителя;
обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но,
занимаясь этим, они чувствовали также потребность освободить образ действия
от формы чисто внешних правил и старались дать ему надлежащее обоснование.
нем таков. Во-первых, степенные определения (разумеется, переменных
величин), содержащиеся в уравнении, низводятся до их первых функций. Но этим
меняется значение членов уравнения. Поэтому уже нет уравнения, а возникло
лишь отношение между первой функцией одной переменной величины и первой
функцией другой. Вместо рх = у2 мы имеем р : 2у или вместо lax - х2 = у2
имеем а - х : у, что впоследствии стали dv обычно обозначать как отношение
x/y . Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от
него и производное (выше - согласно одному лишь правилу) от него, есть,
напротив, линейное отношение, которому пропорциональны определенные линии; р
: 2у или а - х : у сами суть отношения прямых линий кривой, а именно
отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали. Мы хотим
знать о других встречающихся в кривой линиях, что им присуще указанное
отношение, хотим найти равенство двух отношений. - Следовательно, вопрос,
во-вторых, состоит в том, какие прямые линии, определяемые природой кривой,
находятся в таком отношении? - Но это то, что уже ранее было известно, а
именно, что такое полученное указанным путем отношение есть отношение
ординаты к подкасательной. Древние нашли это остроумным геометрическим
способом; изобретатели же нового времени открыли лишь эмпирический способ,
как придать уравнению кривой такой вид, чтобы получилось то первое
отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему
ту линию (здесь - подкасательную), которая подлежит определению. Отчасти это
придание уравнению желаемого вида было задумано и проведено методически -
дифференцирование, - отчасти же были изобретены воображаемые приращения
координат и воображаемый, образованный из этих приращений и такого же
приращения касательной характеристический треугольник, дабы
пропорциональность отношения, найденного путем понижения степени уравнения,
вместе с отношением ординаты и подкасательной была представлена не как нечто
эмпирически взятое лишь из давно знакомого, а как нечто доказанное. Однако
это давно знакомое оказывается вообще (а наиболее очевидно в указанной выше
форме правил) единственным поводом и соответственно единственным основанием
для допущения характеристического треугольника и указанной
пропорциональности.
подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем, что усмотрели, в чем дело,
так как он состоит в том, чтобы отделить друг от друга те два перехода,
которые следует сделать для решения задачи, и рассматривать и доказывать
каждую из этих сторон отдельно. Одна часть этого решения - при более
подробном изложении хода действия мы продолжаем пользоваться как примером
элементарной задачей нахождения подкасательной - теоретическая или общая
часть, а именно нахождение первой функции из данного уравнения кривой,
регулируется особо; эта часть дает некоторое линейное отношение,
следовательно, отношение прямых линий, встречающихся в системе определения
кривой. Другая часть решения состоит в нахождении тех линий в кривой,
которые находятся в указанном отношении. Это теперь осуществляется прямым
путем (Theorie des fonct. anal., p. II, ch. II), т. е. не прибегая к
характеристическому треугольнику, а именно к бесконечно малым дугам,
ординатам и абсциссам, и не давая им определений ау и dx, т. е. членов
указанного отношения, а также не устанавливая в то же время непосредственно
значения равенства этого отношения с самими ординатой и под-касательной.
Линия (равно как и точка) имеет свое определение лишь постольку, поскольку
она составляет сторону некоторого треугольника, и определение точки также
имеется лишь в треугольнике. Это, скажем мимоходом, основное положение
аналитической геометрии, которое приводит к координатам, или, чтб то же
самое, в механике к параллелограмму сил, именно поэтому совершенно не
нуждающемуся в больших усилиях доказать его. - Подкасательная теперь
принимается за сторону треугольника, другие стороны которого составляют
ордината и соотносящаяся с ней касательная. Последняя как прямая линия имеет
своим уравнением р - aq (прибавление + Ь бесполезно для определения и
делается лишь ради излюбленной всеобщности); определение отношения p/q есть
а, коэффициент величины q, который есть соответственная первая функция
уравнения, но который должен вообще рассматриваться лишь как а = p/q , т.
е., как сказано, как сущностное определение прямой линии, применяемой как
касательная к данной кривой. Далее, поскольку берется первая функция
уравнения кривой, она также определение некоторой прямой линии; далее, так
как р, одна координата первой прямой линии, и у, ордината кривой,
отождествляются, стало быть, точка, в которой указанная первая прямая линия,
принимаемая как касательная, соприкасается с кривой, есть также начальная
точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в том,
чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т. е. есть
касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как у = fх и р
= fq, а теперь принимается, что у=р, стало быть, fx=fQ,, то и f`x=F'Q. Что
употребляемая как касательная прямая и та прямая линия, которая определена
из уравнения его первой функцией, совпадают, что вторая прямая есть,
следовательно, касательная, - это показывается с помощью приращения i
абсциссы и приращения ординаты, определяемого разложением функции. Здесь,
стало быть, также появляется пресловутое приращение; однако способ, каким
оно вводится для только что указанной цели, и разложение функции по этому
приращению следует отличать от упомянутого выше пользования приращением для
нахождения дифференциального уравнения и для характеристического
треугольника. Способ, каким оно применяется здесь, правомерен и необходим;
он входит в круг геометрии, так как геометрическое определение касательной,
как таковой, требует, чтобы между ней и кривой, с которой она имеет одну
общую точку, не могло быть другой прямой линии, также проходящей через эту
-точку. Ибо с принятием этого определения качество касательной или
не-касательной сводится к различию по величине, и касательной оказывается та
линия, на которую единственно с точки зрения важного здесь определения
приходится большая малость. Эта на первый взгляд лишь относительная малость
не содержит в себе ничего эмпирического, т. е. ничего зависящего от
определенного количества, как такового; она качественно положена природой
формулы, если различие момента, от которого зависит сравниваемая величина,
есть различие в степени; так как последнее сводится к i и i2 и так как i,
которое ведь в конце концов должно означать некоторое число, следует
представлять затем как дробь, то i2 само по себе меньше, чем i, так что само
представление, что i можно приписывать любую величину, здесь излишне и даже
неуместно. Именно поэтому доказательство большей малости не имеет ничего
общего с бесконечно малым, для которого, стало быть, вообще здесь нет места.
ради его красоты и ради ныне скорее забытой, но вполне заслуженной его
славы; впрочем, он имеет отношение и к природе уравнений, о которой мы
должны будем затем сделать еще одно замечание. Декарт излагает этот
самостоятельный метод, в котором искомое линейное определение также находят
из той же производной функции, в своей оказавшейся и в других отношениях
столь плодотворной геометрии (Oeuvres compl. ed. Cousin, torn V, liv. II, p.
357 и ел.), развивая в ней учение о широкой основе природы уравнений и их
геометрического построения, а тем самым об основе анализа, в столь
значительной степени применяемого к геометрии вообще. Проблема получает у
него форму задачи - провести прямые линии перпендикулярно к любому месту
кривой, чем определяется подкасательная и т. д. Вполне понятно чувство
удовлетворения, выражаемого им по поводу своего открытия, которое касалось
предмета всеобщего научного интереса того времени и, будучи всецело
геометрическим, столь возвышалось над упомянутыми выше методами его
соперников, содержащими одни только правила: "J'ose dire que c'est ceci le
probleme le plus utile et le plus general, non seulement que je sache, mais
шете que j'aie jamais desire de savoir en geometric"117. - При решении этой
задачи он исходит из аналитического уравнения прямоугольного треугольника,
образуемого ординатой той точки кривой, к которой должна быть
перпендикулярна искомая прямая линия, затем ею же самой, нормалью, и,
в-третьих, поднормалью, т. е. той частью оси, которая отрезается ординатой и
нормалью. Из известного уравнения кривой в указанное уравнение треугольника
подставляется затем значение ординаты или абсциссы; таким образом получается
уравнение второй степени (и Декарт показывает, каким образом и те кривые,
уравнения которых содержат более высокие степени, сводятся к уравнению
второй степени), в котором встречается лишь одна из переменных величин и
притом в квадрате и в первой степени, - квадратное уравнение, которое
сначала предстает как так называемое нечистое уравнение. Затем Декарт
рассуждает таким образом, что если мы представим себе рассматриваемую точку
кривой точкой пересечения ее и круга, то этот круг пересечет кривую еще в
другой точке и тогда получится для двух возникающих благодаря этому и
неодинаковых х два уравнения с одинаковыми константами и одинаковой формы
или же одно уравнение с неодинаковыми значениями х. Но уравнение делается
одним уравнением лишь для одного треугольника, в котором гипотенуза
перпендикулярна к кривой, т. е. оказывается нормалью, что представляют себе
таким образом, будто обе точки пересечения кривой совпадают с кругом и,
Афанасьев Роман
Конан-Дойль Артур
Посняков Андрей
Каргалов Вадим
Березин Федор
Акунин Борис