объекты в промежутке между теми и другими не помещают. Установление единого
и чисел отдельно от вещей, а не так, как у пифагорейцев, и введение идей
произошло вследствие исследования в области понятий (более ранние философы
к диалектике не были причастны)".
называет Аристотель? Чем они отличаются от чисел, которые Платон считает
идеальными образованиями? Почему Платон, по словам Аристотеля, помещает эти
самые "математические объекты" в промежутке - между миром идеального и
чувственным миром, т.е. между числами и вещами?
объектов" к самому Платону. Поясняя, что такое число, Сократ говорит своему
собеседнику: ""Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. -
П.Г.): достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в
которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, - то есть
всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет
в себе никаких частей?" - как ты думаешь, что они ответят?
мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться" (курсив мой. - П.Г.).
а можно только мыслить. В чувственном мире невозможно найти "единицу,
которая ничем не отличалась бы от другой" - любой предмет чувственного
мира, любая чувственная "единица" отличается от другого предмета, от другой
"единицы", тождественны они лишь с точки зрения того, что каждый из
предметов мыслится как "один", а "один" равен "одному" только в мире
идеализаций. Как образования идеальные и постижимые только мыслью, числа не
отличаются от идей ("суть идеи", как говорит Аристотель).
образования является положение о принципиальной неделимости единицы -
неделимости логической, поскольку сама единица теперь мыслится как
логическое начало. Согласно Платону, наука о числах "влечет душу ввысь и
заставляет рассуждать о числах самих по себе, ни в коем случае не допуская,
чтобы кто-нибудь подменял их имеющими число видимыми и осязаемыми телами.
Ты ведь знаешь, что те, кто силен в этой науке, осмеют и отвергнут попытку
мысленно разделить самое единицу, но если ты все-таки ее раздробишь, они
снова умножат части, боясь, как бы единица оказалась не единицей, а многими
долями одного".
Единица, согласно концепции Платона, рождает множество, но и само множество
имеет своим логическим условием единицу: ведь если нет единого, то нет и
многого, поскольку многое - это множество единиц. Единицу нельзя разделить
на том самом основании, которое Платон с предельной четкостью сформулировал
в заключительных словах к диалогу "Парменид": "Если единое не существует,
то ничего не существует".
о которых говорит Аристотель, и чем они отличаются у Платона от чисел? Вот
что говорит об этом Платон: "Когда они (геометры. - П.Г.) пользуются
чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те
фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для
четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали,
которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и
живописи, от них может падать тень и возможны их отражения в воде, но сами
они служат лишь образным выражением того, что можно видеть лишь мысленным
взором" (курсив мой. - П.Г.).
Б.Л. ван дер Варден полагает, что античные математики должны были быть
согласны здесь с Платоном. "И действительно, - пишет Варден, - для
прямолинейных отрезков, которые можно видеть и эмпирически измерять,
является бессмысленным вопрос, имеют ли они общую меру или нет: ширина
волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. Вопрос о
соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью".
представлены на чертеже, и "фигуры сами по себе", т.е. такие, которые
"можно видеть лишь мысленным взором". Видимо, последние как раз и есть те
"математические вещи", которые, по свидетельству Аристотеля, Платон
отличает от чисел и которые он считает промежуточными, помещая их между
миром идеального и чувственным миром.
оперирует не арифметика, имеющая дело с числами, а геометрия, это фигуры:
окружности, треугольники, четырехугольники - и их элементы: радиусы, углы,
диагонали, биссектрисы и т.д., т.е. линии и плоскости, по-разному
сконструированные. К математическим Платон относит и "объекты"
стереометрии: шар, куб, тетраэдр, икосаэдр и др. Все это, согласно Платону,
объекты мысли, но они в то же время могут иметь чувственные подобия,
чувственные аналоги: в качестве таких подобий могут выступать не только
начерченные на песке или на восковой дощечке круги, треугольники и т.д., но
и вырезанные из дерева или из камня шары, кубы, пирамиды. Видимо, в этом
смысле Аристотель и говорит, что Платон считает числами и вещи, и причины
вещей, но причинами он считает числа умопостигаемые, а те, что воплощаются
в вещах, считает производными от первых. Точно так же и с геометрическими
объектами: те вещи, которые имеют форму шара или куба, Платон считает
чувственными подобиями идеального шара или куба, так же как чувственными
подобиями геометрических фигур являются их чертежи.
объектов
разный статус: числа - чисто идеальные сущности, а линии, углы, фигуры -
сущности "промежуточные"? В соответствии с этим различением арифметика
выступает у Платона и Аристотеля как первая в ряду математических наук и
наиболее среди них "простая", а тем самым и более достоверная, чем
геометрия. В чем коренится такое различие между арифметикой как наукой о
числах и геометрией как наукой о "фигурах"? Оно коренится в том, что числа
и числовые отношения геометрия представляет в виде определенных
пространственных образов, схем, т.е. фигур.
считали единицу, имеющую определенное положение в пространстве (т.е.
точку), вещью; поскольку эмпирический мир вещей - это мир пространственный,
то единица, становясь точкой, тем самым выступает как элемент
пространственного, а значит, эмпирического мира.
вещей чувственного мира, Платон в то же время не может отождествить их с
собственно идеальными объектами, каковы числа. Пытаясь найти онтологический
статус геометрических объектов, он приходит к мысли о том, что пространство
- стихия геометрии - есть нечто среднее между идеями и чувственным миром.
геометрического пространства; до него античная философия не отделяла
сознательно пространство от его наполнения, за исключением разве атомистов,
но они определяли пространство физически - как пустоту, отличая ее от
атомов как "полного". И не только доплатоновская, но и послеплатоновская
научно-философская мысль в лице Аристотеля и его учеников не признавала
пространства в том виде, как его понимал Платон; пространство выступает у
Аристотеля как "место", а это понятие радикально отличается от
геометрического пространства Платона.
очень большое значение для эволюции науки и ее исходных принципов,
поскольку оно, далее, тесно связано с платоновским обоснованием математики,
мы рассмотрим его здесь подробнее. В диалоге "Тимей" Платон следующим
образом определяет пространство: "...приходится признать, во-первых, что
есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не
воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая,
незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли.
Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя - ощутимое,
рожденное, вечно движущееся, возникающее посредством мнения, соединенного с
ощущением. В-третьих, есть еще один род, а именно пространство (· cиra):
оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но
само воспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного
умозаключения, и поверить в него почти невозможно".
стороны, от идей, постигаемых мыслью (n"hsiV), которые мы назвали бы по
этой причине логическим объектом (для Платона логическое имеет статус
единственно истинного бытия), а с другой - от чувственных вещей,
воспринимаемых "ощущением" (aЗsJhsiV). Пространство лежит как бы между
этими мирами в том смысле, что оно имеет признаки как первого, так и
второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неразрушимо,
неизменно - более того, оно и воспринимается не через ощущение. Но сходство
его с чувственным миром в том, что воспринимается оно все же не с помощью
мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство,
квалифицируется Платоном весьма неопределенно - как "незаконное умозрение"
(+pt'n logismщ tinИ n"JJ). Переводя это выражение Платона как "гибридное
рассуждение", Дюгем тем самым хочет подчеркнуть, что способность, которой
мы постигаем пространство, есть некий гибрид, "помесь" между мышлением и
ощущением.
"Мы видим его (пространство. - П.Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто
это бытие непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать
какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах,
будто бы и не существует".
очевидно, весьма для Платона важно, потому что он употребляет это сравнение
не однажды. В диалоге "Государство", говоря о геометрии и ее объектах,
Платон вновь пользуется этим сравнением: "Что касается остальных наук,
Сертаков Виталий
Прозоров Александр
Контровский Владимир
Свержин Владимир
Флинт Эрик
Лукин Евгений