геометрических проблем. Так, Архит при решении задачи удвоения куба,
которая, по свидетельству древних источников, была поставлена как
практическая задача удвоения объема делийского жертвенника, применял метод
построения, вводя при этом в геометрию механические методы.
многими любимому искусству построения механических орудий, - пишет Плутарх,
- положили начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более
красивой и привлекательной, а также с помощью чувственных, освязаемых
примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних
лишь рассуждений и чертежей затруднительно; такова проблема двух средних
пропорциональных - необходимая составная часть многих задач, для разрешения
которой оба применили механическое приспособление, строя искомые линии на
основе дуг и сегментов. Но, так как Платон негодовал, упрекая их в том, что
они губят достоинство геометрии, которая от бестелесного и умопостигаемого
опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для
своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника, механика
полностью отделилась от геометрии и, сделавшись одною из военных наук,
долгое время вовсе не привлекала внимания философов".
Платона, что в свою очередь придает б(льшую достоверность самому этому
свидетельству. Плутарх, как, впрочем, и сам Платон, хорошо передает
атмосферу научной жизни античной Греции, борьбу тенденций в науке, в
частности в математике, которая действительно привела к значительному
обособлению механики и математики, соединение которых можно наблюдать
только в более поздний период, например у Архимеда.
его Академии склонность к разделению теоретической и практически-прикладной
областей: эта склонность характерна вообще для подавляющего большинства
греческих философов, в том числе и для Демокрита, и для Аристотеля, и для
Эпикура. Именно это разделение двух сфер привело, с одной стороны, к
вычленению науки как некоторого самостоятельного по отношению к
практической жизни теоретического образования, органически связанного с
философией, какого не было на Востоке. С другой стороны, это разъединение
(конечно, всегда относительное, а не абсолютное) обусловило специфический
характер древнегреческой науки вообще, а математики в частности, благодаря
которому она отличается от науки нового времени - последней свойственна
гораздо более интимная связь с "механическими приспособлениями", как
выразился Плутарх.
методов; но это еще не значит, что он отождествляет геометрические фигуры с
самими идеями и не ставит специально вопроса о их существовании - вопроса,
который должен обязательно возникнуть, если онтологический статус
геометрических объектов иной, чем статус идей.
является пространство - нечто среднее между чувственными вещами и
умопостигаемыми идеями. О нем не может быть достоверного знания, какое
получают только посредством ума, но опираясь на него, геометрия "строит"
свои объекты.
его решение у Платона лишь схематически намечено, но не разработано в
деталях. Так, Аристотель постоянно задает Платону и платоникам вопрос, к
какому роду бытия принадлежат геометрические объекты в отличие от
арифметических и "из чего" они образованы. "...Оказывается необходимым, -
пишет Аристотель, - устанавливать еще другой род числа, с которым имеет
дело арифметика, и также все то, что у некоторых получает обозначение
промежуточных объектов; так вот, эти объекты - как они существуют или из
каких образуются начал? а также - почему они будут находиться в промежутке
между здешними вещами и числами самими по себе?"
том, как существуют геометрические объекты и из каких "начал" образуются;
не удивительно, что этим вопросам уделяют большое внимание неоплатоники, в
частности Прокл в своем комментарии к "Началам" Евклида.
собой точки зрения Спевсиппа и Менехма, Прокл говорит, что, в сущности, оба
спорящих правы. Права школа Спевсиппа, "ибо проблемы геометрии - иного
рода, чем проблемы механики... Но столь же права и школа Менехма: ибо без
вхождения в материю невозможно нахождение теорем, но я имею в виду
интеллигибельную материю. Поскольку, следовательно, идеи входят в нее и
оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо
деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник
фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними".
"интеллигибельная материя" и "фантазия". Но то, что названо этими
терминами, мы у Платона уже встречали: интеллигибельная материя - это ведь
гибрид, соединение, казалось бы, несоединимого - интеллигибельного и
чувственного, то самое соединение, которое Платон считал характерным для
пространства. А способность, которой постигается эта "интеллигибельная
материя", носит у Прокла название "фантазии".
вопросу о невозможности конструирования геометрических объектов
механическим путем; и в этом пункте позиция Спевсиппа, судя по всему,
смыкается с платоновской. Но теперь понятны нам и приведенные Проклом слова
Спевсиппа о том, что, беря равносторонний треугольник или любую другую
фигуру, мы "берем вечно сущее как нечто становящееся". Любой геометрический
объект - это вечно сущее, взятое как становление; стихия геометрии - это,
стало быть, интеллигибельная (вечно сущее) материя (становление).
"интеллигибельной материей" - пространством? Мы не знаем, как
интерпретировал постулаты сам Евклид, но, по-видимому, Платон мог бы их
истолковать так же.
точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки, и
прямая - равнонаправленное (gleichgerichtete) и не отклоняющееся течение.
Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и
кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование
выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны".
это простейший акт представления того, как движется точка. Простейший, не
требующий от нас особых усилий. Но если не нужно особых усилий, чтобы
представить себе (а представление, образ относятся к сфере становления -
сравни у Спевсиппа), как движется точка, то нужно сделать большое усилие,
чтобы понять, где же, в какой стихии эта точка движется и что такое она
сама. Может быть, это шарик, катящийся по столу? Или кусок мела, который
движется по доске? Но они - не точки, а чувственные вещи. Может быть, точка
- это идея? Но идея не может двигаться, она не причастна миру становления,
в котором только и может иметь место движение. Что же такое точка и где то
место, в каком она движется?
затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный
геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку)
- ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком
огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении
(kЕnhsiV fantastik ); и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка)
подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движениям фантазии. Ибо
неделимый ум (noаV) движется, хотя и не способом перемещения; также и
фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное
движение".
умопостигаемом мире, но и не в мире телесном; оно совершается в
воображаемом мире: точка движется в фантазии. Такое название у Прокла
получила способность, которая, согласно Платону, подобна сну. И в прямом
соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют
собой только чувственные подобия геометрических фигур, Прокл далее говорит
о том, что телесное движение карандаша по бумаге есть лишь телесный аналог,
телесный образ движения бестелесной точки по бестелесной "бумаге" -
пространству, т.е. движение, совершаемое в фантазии.
- "интеллигибельной материей". Нам думается, что хотя термины эти
принадлежат Проклу, но онтологический статус объектов геометрии определен
им вполне в духе философии математики Платона. Если позиция Спевсиппа в
некоторых пунктах и не вполне совпадала с платоновской, то в
рассматриваемом вопросе она, как нам кажется, весьма близка к платоновской.
инструменты подходящими только для того, чтобы представить нашему
"телесному зрению" те фигуры, которые мы реально "порождаем" в фантазии;
чертежи на песке или на бумаге казались ему чем-то вроде "вторых подобий" -
так же, как и произведения искусства. Почему вторых? Потому что даже
движение точки в фантазии есть нечто вторичное, оно предполагает материю,
хотя и "интеллигибельную"; а движение стилета по восковой дощечке есть уже
чувственное подобие движения точки в фантазии.
наука принципиально не могла последовательно провести мысль о том, что
геометрический объект - точка - движется в материальном мире. Даже у
Архимеда и Герона еще не было той формы связи между механикой и геометрией,
какая возникла только в эпоху Возрождения и благодаря которой стало
возможным совсем новое истолкование математической программы античности.
Шилова Юлия
Херберт Фрэнк
Володихин Дмитрий
Акунин Борис
Перумов Ник
Жюль Верн