фигурами. Понятно, что различие в онтологическом статусе арифметических и
геометрических объектов должно обусловливать, согласно Платону, также и
познавательную значимость этих двух математических наук. Арифметика поэтому
является первой в ряду наук и наиболее логически обоснованной. Что касается
геометрии, то она не имеет строго логического обоснования, ибо ее элементы
нуждаются для своего обоснования также в "интеллигибельной материи" -
пространстве. Для геометрии наглядность ("созерцание") необходима, для
арифметики - нет. Тем не менее все математические науки имеют в глазах
Платона высокий ценностный статус: все они в той или иной мере причастны к
постижению высшего бытия, а потому и должны почитаться как средства к
высшему познанию.
математика отличается от средневековой и особенно от математики нового
времени. К характерным ее чертам принадлежит, в частности, специфическое
отношение к числу, носящее ярко выраженный аксиологический характер. Такое
отношение к числу особенно характерно для математиков и философов,
принадлежащих к пифагорейской школе и к платоновской Академии. Анализ
платоновских произведений показывает, как складывалось и чем мотивировалось
ценностное отношение к математике.
почитания. "Давайте рассмотрим, - говорит он, - как мы выучились считать.
Скажите: откуда у нас появилось понятие единицы, двойки? Почему только мы
одни из всех живых существ по своей природе можем иметь такое понятие?..
Нам впервые привил Бог понимание того, что нам показывают, а затем он
показал нам число и показывает до сих пор. Происходит беспрестанная смена
многих ночей и дней. Небо совершает это беспрестанно, научая людей понятию
о единице и двойке, так что, наконец, и самый неспособный человек
оказывается в состоянии усвоить счет. Созерцая это, каждый из нас может
получить понятие о числах "три", "четыре" и о множественности".
Небо. То, что математика на Востоке с самых древних времен связана была с
астрономией, в этом нет сомнения, и это, собственно, Платон и имеет в виду.
Однако математика, как и астрономия, была связана и с практическими
нуждами, но эту ее функцию Платон, как мы уже видели, считает производной и
второстепенной.
себе ничего дурного, отрицательного. Вот отрывок, где дается ценностная
характеристика числа: "Что число не вызывает ничего дурного, это легко
распознать, как это вскоре и будет сделано. Ведь чуть ли не любое нечеткое,
беспорядочное, безобразное, неритмичное и нескладное движение и вообще все,
что причастно чему-нибудь дурному, лишено какого бы то ни было числа.
Именно так должен мыслить об этом тот, кто собирается блаженно окончить
свои дни. Точно так же никто, не познав [числа], никогда не сможет обрести
истинного мнения о справедливом, прекрасном, благом и других подобных вещах
и расчислить это для самого себя и для того, чтобы убедить другого" (курсив
мой. - П.Г.).
потому отнюдь не есть нечто нейтральное по отношению к ценностям. Именно с
понятием числа Платон связывает порядок, упорядоченность, ритм, склад
(лад), гармонию, согласованность, меру, соразмерность, а все это - атрибуты
не только прекрасного, но и доброго, благого, оно же и истинное. Поэтому в
самом числе выделяется и подчеркивается прежде всего то, что несет эти
атрибуты.
"главная и первая из наук - это наука о самих числах, но не о тех, что
имеют предметное выражение, а вообще о зарождении понятий "чет" и "нечет" и
о том значении, которое они имеют по отношению к природе вещей. Кто это
усвоил, тот может перейти к тому, что носит весьма смешное имя геометрии.
На самом деле ясно, что это наука о том, как выразить на плоскости числа,
по природе своей неподобные".
"стороны" (как говорят античные математики, тем самым указывая на то, что
число мыслится ими геометрически) - пропорциональны, т.е. a:c = b:d. Если
же числа оказываются неподобными, то их можно уподобить, представив как
площади подобных прямоугольников; задача уподобления двух чисел ab и cd
предстает тогда как задача нахождения средних пропорциональных m и l, так
что площади ab и cd относятся как m2:l2. Таким образом, задача нахождения
средних пропорциональных с целью "уподобления" чисел мыслится Платоном как
центральная проблема геометрии. Установление пропорциональных отношений,
как видим, оказывается не одной из задач математики наряду с прочими, а
центральной ее темой.
также назвали ее геометрией. Наука эта изучает тела, имеющие три измерения
и либо подобные друг другу по своей кубической природе, либо неподобные,
приводимые к подобию с помощью искусства". Речь идет, как нетрудно
заметить, о стереометрии, которой Платон отводил важное место среди
математических наук. Главной ее задачей он тоже считал установление
пропорциональных отношений.
геометрическая и гармоническая. Так, в "Тимее", объясняя принцип построения
космоса демиургом, Платон приводит сложное числовое построение, в основе
которого лежит система пропорциональных отношений: "...в каждом промежутке
было по два средних члена, из которых один превышал меньший из кратных
членов на такую же его часть, на какую часть превышал его больший, а другой
превышал меньший крайний член и уступал большему на одинаковое число".
Здесь Платон дает определение гармонической и арифметической пропорции.
Если средний член превышает меньший из крайних на такую его часть, на какую
сам он превышается большим крайним членом, мы имеем гармоническую
пропорцию. Так, для двух чисел - 6 и 12 - гармонической средней будет 8.
Гармоническая пропорция - это 6, 8, 12, т.е. 1, 11/3, 2. Если же средний
член превышает меньший из крайних на такое же число, на какое его самого
превышает больший крайний, то пропорция будет арифметической: 6, 9, 12 или
1, 11/2, 2. Есть у Платона и третий вид пропорции, хотя он его не
определяет в приведенном отрывке, - геометрическая пропорция: второй член
должен так относиться к третьему, как первый - ко второму: 1, 2, 4.
исследований, проводившихся в Академии, и не случайно такие математики, как
Теэтет и Евдокс Книдский, если доверять античным источникам, уделяли
большое внимание этой теме. Так, О. Беккер полагает, что V и VI книги
"Начал" Евклида, содержащие теорию пропорций, принадлежат Евдоксу, с чем
согласен также и ¤.¦. ван дер Варден.
продолжается еще одной наукой - астрономией. Астрономия - четвертая в ряду
математических наук, но в то же время она как бы возвращает нас и к началу
ряда, поскольку, как мы помним, по Платону, арифметика обязана своим
возникновением созерцанию Неба и происходящих в нем перемен. Вот что пишет
Платон о месте астрономии среди других наук и о ее предмете: " "Завершением
их (наук. - П.Г.). должно служить рассмотрение божественного происхождения
и прекраснейшей и божественной природы зримых вещей. Бог дал созерцать ее
людям, но без только что разобранных наук никто этого не может, хотя бы кто
и похвалялся тем, что он легко все схватывает... Нам надо познать точность
времени, а именно, с какой точностью совершаются все небесные
кругообращения... Всякая геометрическая фигура, любое сочетание чисел или
гармоническое единство имеют сходство с кругообращением звезд;
следовательно, единичное для того, кто надлежащим образом это усвоил,
разъясняет и все остальные".
небесных движений, выраженную в точных числовых соотношениях. В этом смысле
астрономия - тоже наука математическая, предполагающая знание арифметики и
геометрии. Более того, как утверждает Платон, в движениях небесных тел
находят свое как бы телесное воплощение математические отношения, изучаемые
тремя первыми математическими науками. А потому изучение одной из этих
наук, в сущности, уже есть и изучение остальных, ибо их предмет в конце
концов один, только берется в разных аспектах. Видимо, так можно
истолковать последнее предложение приведенного отрывка. Это опять-таки
близко к пифагорейской традиции, согласно которой определенное сочетание
чисел соответствует правильному движению небесных сфер и гармоническому
сочетанию звуков. Гармония чисел, движений и тонов - одна и та же гармония,
и ее чистое выражение - математическая пропорция.
он определяет в "Государстве" как "науку об измерении глубины", а
астрономию - как науку о вращении тел, имеющих глубину. В отношении
астрономии Платон рассуждает так же, как и в отношении геометрии, различая
два возможных к ней подхода: практический и чисто философский. С
практической точки зрения астрономия очень важна, ибо "внимательные
наблюдения за сменой времен года, месяцев и лет пригодны не только для
земледелия и мореплавания, но не меньше и для руководства военными
действиями". Однако практическая польза от астрономии - это отнюдь не самое
главное, ради чего необходимо ею заниматься. Как и другие науки -
арифметика, геометрия, стереометрия, - астрономия, согласно Платону,
подготовляет наш ум к постижению высшей истины, ценной не ради ее
приложений, но сама по себе, и в этом главное ее назначение: "...в науках
очищается и вновь оживает некое орудие души каждого человека, которое
другие занятия губят и делают слепым, а между тем сохранить его в целости
более ценно, чем иметь тысячу глаз, ведь только при его помощи можно
увидеть истину". Платон, как видим, подчеркивает, что астрономия, как и
математика в целом, служит средством перехода от предметов, данных
непосредственному ощущению, к предметам, которые можно постигнуть лишь в
мышлении, т.е. к "вещам невидимым". И в этом он усматривает главное
назначение астрономии. Понятая таким образом астрономия, как и другие
Елманов Валерий
Чернецов Андрей
Шилова Юлия
Сапковский Анджей
Сертаков Виталий
Афанасьев Роман