собственно математическими доказательствами. "...Кое-что из того, что ранее
было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и
геометрически, так как рассмотрение при помощи этого (механического. -
П.Г.) метода еще не является доказательством; однако получить с помощью
этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а
затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить
изыскания, ничего не зная. Поэтому и относительно тех теорем о конусе и
пирамиде, для которых Евдокс первый нашел доказательство, а именно, что
всякий конус составляет третью часть цилиндра, а пирамида - третью часть
призмы с тем же самым основанием и равной высотой, немалую долю заслуги я
уделю и Демокриту, который первый высказал это положение относительно
упомянутых фигур, хотя и без доказательства"55.
методов, но методов, не смыкающихся со строго математическим
рассмотрением56, а потому, как говорит Архимед, "лишенных доказательства".
Однако тот же Архимед в своей работе "О шаре и цилиндре" говорит по поводу
теорем о пирамиде и конусе следующее: "Свойства эти остались неизвестными
многим жившим до Евдокса знаменитым геометрам и ни одному из них не пришли
на ум"57. Приведенная нами выше ссылка на Демокрита дана Архимедом в
сочинении "Эфод"58, найденном И. Гейбергом в начале ХХ в. В чем причина
такого несоответствия высказываний Архимеда? Можно допустить, что "Эфод"
написан Архимедом позднее, чем сочинение "О шаре и цилиндре", т.е. в
период, когда Архимед еще не был знаком с методами Демокрита. Однако
некоторые исследователи не согласны с таким допущением59.
котором говорит Архимед в "Эфоде". Сам Архимед не сообщает об этом; но
естественно, казалось бы, предположить, что Демокрит здесь прибегал к
приемам суммирования. Однако немецкий историк математики Э. Хоппе, обращая
внимание на употребление Архимедом выражения katanohJ¤nai, утверждает, что
Архимед не мог бы его употребить, если бы Демокрит пользовался приемами
суммирования. Хоппе полагает, что скорее Демокрит в качестве физика
определил объем конуса и пирамиды экспериментально, путем взвешивания самих
тел или соответствующих им объемов жидкостей60. Такое допущение вполне
объясняло бы, почему Архимед считал, что положения Демокрита о конусе и
цилиндре не сопровождались доказательствами, а потому носили не строго
математический, но механический характер. Однако за неимением других
подтверждений точки зрения Хоппе, кроме филологического анализа глагола
katanoЪw, трудно считать решенным вопрос о характере тех механических
методов Демокрита, о которых сообщает Архимед.
суммирования, как показал В.П. Зубов, должен был существенно отличаться от
того способа, каким пользовался в "Эфоде" Архимед. "Уже было сказано, -
пишет Зубов, - что для Демокрита характерным являлось разложение величин на
элементы того же порядка (тел - на тела) в отличие от
платоновско-пифагорейских математиков, разлагавших тела на плоскости,
плоскости - на линии, линии - на точки. В "Эфоде" Архимед пользуется не
первым, а вторым приемом. Метод его основан на принципе: то, что
справедливо в отношении каждой пары элементов, применимо и в отношении всех
элементов одной совокупности ко всем элементам другой совокупности -
"каждый к каждому, как все ко всем". Если А:а = В:b = С:с = = D:d и т.д.,
то (А + В + С + Д...):(a + b + c + d...) = А:а. Рассматривая площади как
совокупности всех линий, объемы - как совокупности всех площадей, Архимед
выводит ряд квадратур и кубатур, например, определяет объем части цилиндра,
вписанного в прямую призму с квадратным основанием, которая отсекается
плоскостью, проходящей через ребро верхнего основания призмы и центр
нижнего основания.
между величинами n-го измерения к соотношению между величинами n + 1
измерения. Это совсем не то, что построение тел из конечного числа
"неделимых тел", пусть даже число этих "неделимых" очень велико и они
практически не отличаются от точек"61.
Архимед, имеет в качестве своей предпосылки математические "неделимые", а
не физические атомы Демокрита, ибо, согласно исходным принципам Демокрита,
тела слагаются из неделимых тел, т.е. величин того же измерения.
Возрождения, в частности у Галилея. Здесь в известном смысле теряет свое
значение характерное для античной науки различие математических и
физических неделимых, "точек" и "линий", с одной стороны, и неделимых тел,
"атомов", - с другой. Но это происходит благодаря радикальному изменению
исходных методологических принципов естествознания, пересмотру тех понятий,
которые были унаследованы от античной науки. Поэтому то, что было сделано в
эпоху Галилея, нельзя проецировать на греческую науку, что, по-видимому,
сделал С.Я. Лурье в своей работе "Теория бесконечно малых у древних
атомистов" (М.; Л., 1935).
математики с физикой, и в свете этой новой модели античные программы,
оттесненные на задний план в средневековой науке, неожиданно приобретают
совершенно новое звучание: мы имеем в виду математическую программу
пифагорейцев и платоников, а также физическую программу Демокрита.
необходимо, по-видимому, рассматривать его в условиях теоретической
ситуации того времени - как мыслителя, решающего вопросы, поставленные его
предшественниками и современниками, а не нами и не нашей современной
теоретической ситуацией. То же самое имеет силу и по отношению к другим
теоретическим позициям и научным школам.
условия которых формулировались прежде всего двумя предшествующими
философскими направлениями - пифагорейцами и элеатами, то атомистическая
теория предстанет в исторической перспективе как физическая интерпретация
пифагорейского учения о "единицах", неделимых "монадах". В пользу этого
предположения говорит и свидетельство о том, что Демокрит, помимо того, что
он был учеником Левкиппа (а сам Левкипп - учеником Зенона)62, учился также
у кого-то из пифагорейцев63. Мы не можем поэтому согласиться с утверждением
Э. Франка, что пифагорейский тезис "все есть число" (а соответственно и
пифагорейское понятие неделимой "монады") представляет собой заимствование
у Демокрита. "...Легко видеть, - пишет Франк, что такие положения, как "все
есть число" или "единственно объективное познание есть математика",
непосредственно вытекают из воззрения атомизма, и только из него могут быть
поняты. Ибо если все есть атом или совокупность атомов, тогда, конечно, все
есть только число"64. При этом Франк ссылается на Аристотеля.
них: "Может показаться, что все равно, говорить ли о единицах или маленьких
тельцах (как элементах души). В самом деле, если бы шарики Демокрита
превратились в точки, при сохранении (их) количества, то в этом (множестве)
будет иметься и движущее и подвижное, как в непрерывном"65.
пифагорейцев в точки, т.е. что в ходе развития концепции Демокрита
пифагорейцы дали ей такое - математическое - истолкование? Ничего подобного
он не говорит. В этом разделе, как и во многих других своих работах, он
сравнивает атомизм Демокрита с учением о "неделимых монадах" - числах
пифагорейцев, поскольку оба эти учения исходят из общей посылки - множества
неделимых элементов, только Демокрит понимает их как физические "шарики", а
пифагорейцы - как математические числа. Контекст высказывания Аристотеля
такой: он критикует здесь учение пифагорейцев, что "душа есть самодвижущее
число", и показывает, что ни понятия пифагорейцев, ни понятия атомистов не
пригодны для объяснения природы души. Таким образом, извлечь из этого
отрывка мысль о том, что исторически понятие числа возникло из понятия
атома, на наш взгляд, невозможно66.
действительно, и те и другие признавали неделимые элементы и пустоту, их
разграничивающую; но никогда он не забывает указать также и на различие
обеих школ67. Неделимые элементы, кроме пифагорейцев и атомистов,
признавал, согласно Аристотелю, и Платон; поэтому иногда Аристотель в связи
с обсуждением теории неделимых говорит о всех ее разновидностях, включая
сюда и платоновскую; но всегда указывает при этом на отличительные
особенности каждой разновидности. Вот один из примеров: "Он (Платон)
говорит примерно в том же духе, что и Левкипп, но отличается от него лишь в
том, что неделимыми элементами у Левкиппа являются тела, у Платона -
плоскости; при этом Левкипп утверждает, что каждое из его неделимых тел
характеризуется особой формой, причем число этих форм бесконечно, а по
Платону, число их ограничено. Однако же оба утверждают, что элементы
неделимы и характеризуются формой" (ЛД. СвV, 222).
пифагорейство не имело реального отношения к науке и что существование
научной школы пифагореизма можно отнести только ко времени Архита, т.е. к
IV в. до н.э. При такой постановке вопроса атомизм Левкиппа-Демокрита
действительно оказывается исторически первой формой учения о множестве
неделимых элементов, к какому выводу и приходит Франк, несмотря на то что в
свидетельствах античных авторов этот вывод ничем не подкрепляется. Точку
зрения Э. Франка в этом вопросе разделяет и С.Я. Лурье. "Франк, - пишет он,
- видящий в пифагорейских монадах лишь идеалистическое видоизменение
демокритовых атомов, в том же смысле понимает и свидетельство Аристотеля в
"Метафизике", в чем он совершенно прав (Aristot. Metaph. II, 5. P. 1002
a8)"68.
мыслителей и мыслители более ранние со своей стороны признавали сущностью и
сущим тело, а все остальное <считали> за его состояния, вследствие чего и
начала, <которые они устанавливали для> тел, они принимали за начала всех
вещей. Между тем мыслители более поздние и признанные более мудрыми, чем
Максимов Альберт
Посняков Андрей
Круз Андрей
Доставалов Александр
Соломатина Татьяна
Шилова Юлия