парадоксом, восходящим еще к Зенону: как бы малы ни были составляющие
элементы, но если они имеют конечную величину, то бесконечное их число в
сумме даст и бесконечную же величину - неважно, идет ли речь о массе
металла, длине линии или величине скорости. На этом принципе стоит как
математика греков, так и их физика: ни та, ни другая не имеют дела с
актуальными бесконечностями - будь то бесконечно большие величины или же
бесконечно малые. Приведенный Сагредо пример с муравьями - лишь специальная
формулировка той самой аксиомы непрерывности Архимеда или аксиомы Евдокса,
которая устанавливает, какого рода величины могут находиться между собой в
отношении и что это значит - находиться в отношении.
-Галилей задумавшемуся Сагредо: "В противном случае - что же? Раз мы уже
дошли до парадоксов, то попробуем, нельзя ли каким-либо образом доказать,
что в некоторой конечной непрерывной величине может существовать
бесконечное множество пустот". Как видим, Галилей хочет доказать, что
конечная величина может представлять собой сумму бесконечного числа -
нельзя сказать, что величин, скажем пока - элементов, в данном случае -
"пустот". В доказательство своего парадоксального утверждения Галилей
обращается к знаменитому "колесу Аристотеля" - задаче, которой много
занимались средневековые ученые и суть которой сформулирована в работе
псевдо-Аристотеля "Механические проблемы". В средневековой механике эта
задача формулируется в виде вопроса, почему при совместном качении двух
концентрических кругов больший проходит такое же расстояние, как и меньший,
в то время как при независимом движении этих двух кругов пройденные ими
расстояния относились бы как их радиусы. Галилей решает парадокс
"аристотелева колеса" совсем не так, как это делал автор "Механических
проблем".
допущения, которое ему позволяет сделать затем "предельный переход",
играющий принципиально важную роль в его доказательстве: он рассматривает
сначала качение равносторонних и равноугольных концентрических
многоугольников. При качении большего многоугольника должен двигаться также
и вписанный в него меньший; при этом, как доказывает Галилей, меньший
многоугольник пройдет пространство, почти равное пройденному большим, "если
включить в пространство, пройденное меньшим, также и интервалы под дугами,
не затронутые на самом деле никакой частью периметра меньшего
многоугольника". При качении меньшего многоугольника, как показывает
Галилей, происходят "скачки", как бы "пустые промежутки", число которых
будет равно числу сторон обоих многоугольников. При возрастании числа
сторон многоугольников размеры пустых промежутков уменьшаются
пропорционально увеличению числа сторон. Однако пока многоугольник остается
самим собой, то, как бы ни возрастало число его сторон, они остаются все же
конечной величиной, а потому и число пустых промежутков будет как угодно
большим, но конечным числом.
превращается в круг, то дело существенно меняется. "...Как в многоугольнике
со ста тысячами сторон путь, пройденный при обороте, измеряется обводом
большего многоугольника, то есть отложением без перерыва всех его сторон, в
то время как путь меньшего многоугольника также равен ста тысячам его
сторон с прибавлением такого же числа, то есть ста тысяч пустых
промежутков, так и в кругах (представляющих собою многоугольники с
бесконечно большим числом сторон) линия, образуемая непрерывным наложением
бесконечно большого числа сторон большого круга, приблизительно равна по
длине линии, образованной наложением бесконечно большого числа сторон
меньшего круга, если включить в нее и промежутки; а так как число сторон не
ограниченно, а бесконечно, то и число промежутков между ними также
бесконечно; бесчисленные точки в одном случае заняты все, в другом случае
часть их занята, а часть пуста".
последующее его доказательство, а именно что круг представляет собой
многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Такое допущение не
принималось математиками ни в античности, ни в средние века, оно
дозволялось только в логистике для упрощения расчетов, которые всегда
принимались как приблизительные. Допущение предельного перехода
многоугольника с как угодно большим, но конечным числом сторон в фигуру
другого рода - круг - позволяет Галилею ввести в оборот понятие актуальной
бесконечности, вместе с которым в научное построение проникают парадоксы -
и на этих-то парадоксах, которые прежде в математику пытались не впускать,
как раз и работает та новая ветвь математики, которая во времена Галилея
носит название "математики неделимых", а впоследствии получает название
исчисления бесконечно малых. В "Беседах" Галилея мы наглядно можем видеть,
как формируется методологический базис этой новой математики, возникшей
вместе с механикой нового времени как ее математический фундамент.
представляют собой промежутки, лишенные величины. Введение этих "пустых
точек" служит для Галилея средством преодоления противоположности
непрерывного и дискретного - противоположности, которую считал
принципиальной для науки Аристотель и на которой базируется его физика и
философия в той же мере, в какой и математика Евклида.
средневековой науки, свидетельствует, в частности, трактат Брадвардина о
континууме, где показано, к каким парадоксам и противоречиям приводит
попытка составления континуума из неделимых (т.е. из точек).
мышлением, если принять понятие актуальной бесконечности. "...Разделяя
линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя
получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине
первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но,
представляя себе линию, разделенную на неконечные части, то есть на
бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой
без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих
неделимых пустот".
понятие неделимого, вызвавшее серьезную и очень плодотворную дискуссию
между математиками, философами, физиками на протяжении более чем двухсот
лет. Как видим, это новое понятие вводится с помощью математического
доказательства и базируется на приеме, введенном в философское мышление
Николаем Кузанским, - на приеме предельного перехода, представляющем собой
как бы псевдонаглядную демонстрацию принципа совпадения противоположностей.
Именно псевдонаглядную, потому что не только нашему наглядному
представлению, но даже нашему мышлению не под силу понять совпадение
противоположностей, о котором ведут речь и Кузанец, и Галилей.
ему несколько имен, каждое из которых несет на себе след того приема мысли,
с помощью которого это понятие появилось на свет: "пустые точки",
"неделимые пустоты", "неконечные части линии" и, наконец, просто
"неделимые", или "атомы".
"математические атомы", или "амеры", которые С.Я. Лурье нашел у Галилея и
его ученика Кавальери и попытался - но без достаточных доказательств -
обнаружить также и у Демокрита. К такому сопоставлению С.Я. Лурье побудили,
вероятно, некоторые высказывания того же Галилея.
однако же, показывает, что это понятие вполне работает также и в физике,
более того, как мы помним, даже и математическое доказательство было
предпринято им с целью найти средства для решения физической проблемы
связности тел. "То, что я сказал о простых линиях, - пишет Галилей, -
относится также и к поверхностям твердых тел, если рассматривать их как
состоящие из бесконечного множества атомов. Если мы разделим тело на
конечное число частей, то, без сомнения, не сможем получить из них тела,
которое занимало бы объем, превышающий первоначальный, без того, чтобы
между частями не образовалось пустого пространства, то есть такого, которое
не заполнено веществом данного тела; но если допустить предельное и крайнее
разложение тела на лишенные величины и бесчисленные первичные составляющие,
то можно представить себе такие составляющие растянутыми на огромное
пространство путем включения не конечных пустых пространств, а только
бесконечно многих пустот, лишенных величины. И таким образом допустимо,
например, растянуть маленький золотой шарик на весьма большой объем, не
допуская конечных пустот, - во всяком случае, если мы принимаем, что золото
состоит из бесконечно многих неделимых".
протяжении многих десятилетий отвергалось большим числом математиков и
вызывало множество споров у физиков. Ведь в сущности Галилей в приведенном
выше отрывке узаконивает апорию Зенона, служившую для элеатов средством
доказательства того, что актуально бесконечное множество вообще не может
быть мыслимо без противоречия, превращая ее из орудия разрушения в орудие
созидания, но не снимая при этом противоречия, а пользуясь им как
инструментом позитивной науки. В самом деле, Галилей утверждает, что из
лишенных величины элементов (т.е. элементов, строго говоря, бестелесных,
ибо тело - пусть самое наименьшее - всегда имеет величину) можно составить
как угодно большое тело при условии, что этих лишенных величины
составляющих будет бесконечное множество. Таким образом, одно непонятное -
лишенную величины составляющую часть тела - Галилей хочет сделать
инструментом познания с помощью другого непонятного - актуально
существующего бесконечного числа, которого не принимала ни античная, ни
средневековая математика. Последняя, правда, в лице некоторых своих
теоретиков, как, например, Гроссетеста, признавала актуально бесконечное
число, но оговаривала, что оно доступно лишь Богу, а человеческий разум
оперировать этим понятием не в состоянии.
Эриксон Стивен
Буркатовский Сергей
Корнев Павел
Корнев Павел
Беляев Александр
Володихин Дмитрий