соотношение различенных определенностей друг с другом - вот что должно быть
здесь рассмотрено. Дефиниция содержит лишь одну определенность, членение -
определенность по отношению к другим определенностям; в порознении предмет
распадается внутри самого себя на свои моменты. Если дефиниция не идет
дальше всеобщего понятия, то в научных положениях, напротив, предмет познан
в его реальности, в условиях и формах его реального наличного бытия. Поэтому
в научном положении, взятом вместе с дефиницией, представлена идея, которая
есть единство понятия и реальности. Но рассматриваемое здесь познание,
занятое еще поисками, постольку не достигает того, чтобы в нем была
представлена идея, поскольку реальность при нем еще не проистекает из
понятия, следовательно, не познана ее зависимость от понятия и стало быть,
не познано само единство понятия и реальности.
смысле слова синтетическое в предмете, поскольку отношения его
определенностей необходимы, т. е. основаны во внутреннем тождестве понятия.
Синтетическое в дефиниции и членении есть принимаемая извне связь;
найденному в наличии придается форма понятия, но как найденное в наличии все
содержание лишь показывается; научное же положение должно быть доказано. Так
как это познание не выводит содержания своих дефиниций и определений
членения, то кажется, что оно могло бы обойтись без доказательства и тех
отношений, которые выражены научными положениями, и в этом смысле также
довольствоваться восприятием. Однако познание отличается от простого
восприятия и представления именно формой понятия вообще, которую оно
сообщает содержанию; это осуществляется [им ] в дефиниции и членении; но так
как содержание научного положения проистекает из понятийного момента
единичности, то оно состоит в таких определениях реальности, которые уже не
имеют своими отношениями только простые и непосредственные определения
понятия; в единичности понятие перешло в инобытие, в реальность, благодаря
чему оно становится идеей. Тем самым синтез, содержащийся в научном
положении, уже не имеет своим обоснованием форму понятия; он соединение
разных [моментов ]. Поэтому еще не положенное этим единство следует еще
выявить, и потому доказательство становится здесь необходимым самому этому
познанию.
определенно различить, какие из определений предмета могут быть приняты в
дефиниции, а какие отнесены к научным положениям. Относительно этого не
может быть никакого принципа. Правда, может показаться, что такой принцип
заключается, например, в том, что непосредственно присущее предмету
принадлежит к дефиниции, относительно же остального как опосредствованного
следует сначала выявить [его] опосредствование. Однако содержание дефиниции
- это вообще определенное и потому само по существу своему опосредствованное
содержание; оно имеет лишь субъективную непосредственность, т. е. субъект
начинает с чего-то произвольного и признает предмет предпосылкой. А так как
это есть вообще конкретный внутри себя предмет и так как он должен быть
подвергнут также членению, то получается множество определений, которые по
своей природе опосредствованы и принимаются за непосредственные и
недоказанные не на основе какого-нибудь принципа, а лишь согласно
субъективному определению. - И у Евклида, который с давних пор справедливо
признан весьма искусным в этом синтетическом способе познания, под названием
аксиомы имеется предпосылка, касающаяся параллельных линий, которая, как
считали, требует доказательства и недостаточность которой по-разному
пытались восполнить. В некоторых других теоремах как будто нашли такие
предпосылки, которые должны были бы быть не приняты непосредственно, а
доказаны. Что же касается упомянутой аксиомы о параллельных линиях, то по
этому поводу можно заметить, что как раз здесь Евклид обнаруживает
правильное понимание дела, точно оценив и стихию, и природу своей науки;
доказательство этой аксиомы нужно было бы вести, исходя из понятия
параллельных линий; но такой способ доказательства так же мало относится к
его науке, как и дедукция выставляемых им дефиниций, аксиом и вообще его
предмета - самого пространства и ближайших его определений, измерений; так
как такую дедукцию можно вести только из понятия, а понятие находится вне
того, что составляет специфику Евклидовой науки, то указанные дефиниции,
аксиомы и т. д. необходимо суть для этой науки предпосылки, нечто
относительно первое.
принадлежат к тому же классу. Их обычно неверно принимают за нечто абсолютно
первое, как если бы они сами собой не нуждались ни в каком доказательстве.
Если бы это было так на самом деле, то они были бы чистыми тавтологиями,
ведь только в абстрактном. тождестве нет никакой разности, следовательно, не
требуется и никакого опосредствования. Но если аксиомы суть нечто большее,
чем тавтологии, то они положения, [взятые] из какой-то-другой науки, так как
для той науки, которой они служат в качестве аксиом, они должны быть
предпосылками. Они поэтому, собственно говоря, теоремы, и притом большей
частью из логики. Аксиомы геометрии и суть подобного рода леммы, логические
положения, которые, впрочем, близки к тавтологиям потому, что они касаются
лишь величины и ввиду этого качественные различия в них стерты; о главной
аксиоме, о чисто количественном умозаключении, речь шла выше. - Поэтому
рассматриваемые сами по себе аксиомы точно так же нуждаются в
доказательстве, как и дефиниции и членения, и их не делают теоремами только
потому, что они как относительно первые принимаются определенной точкой
зрения за предпосылки.
более точное различие, что так как это содержание находится в соотношении
определенностей реальности понятия, то эти соотношения могут быть либо в той
или другой мере недостаточными и отдельными отношениями предмета, либо же
таким отношением, которое охватывает все содержание реальности и выражает
его определенное соотношение. Но единство исчерпывающих определенностей
содержания равно понятию; положение, содержащее единство, само поэтому есть
опять-таки дефиниция, но такая, которая выражает не только непосредственно
воспринятое понятие, но понятие, развернутое в свои определенные, реальные
различия, иначе говоря, полностью осуществленное понятие. И то и другое
вместе представляет поэтому
синтетической науки, и в особенности геометрии, то обнаружится следующее
различие: одни теоремы этой науки содержат лишь отдельные отношения
предмета, другие же - такие отношения, в которых выражена исчерпывающая
определенность предмета. Весьма поверхностно рассматривать все положения как
равноценные на том основании, что-де вообще каждое из них содержит некоторую
истину и что они в формальной процедуре, в ходе доказательства одинаково
существенны. Различие, касающееся содержания теорем, самым тесным образом
связано с самой этой процедурой; некоторые дальнейшие замечания о ней
послужат к тому, чтобы больше выяснить указанное различие, равно как и
природу синтетического познания. Прежде всего [необходимо отметить
следующее]: Евклидова геометрия, которая должна служить здесь примером как
представительница синтетического метода, будучи его наиболее совершенным
образцом, издавна превозносится за порядок расположения в ней теорем -
каждой теореме предпосылаются как уже ранее доказанные те положения, которые
требуются для ее построения доказательства. Это обстоятельство касается
формальной последовательности; как ни важна такая последовательность, она
все же больше касается внешнего упорядочения сообразно цели и сама по себе
не имеет никакого отношения к существенному различию между понятием и идеей,
в котором заключается более высокий принцип необходимости движения вперед. -
А именно, в дефинициях, с которых начинают [в геометрии], постигается
чувственный предмет как непосредственно данный и определяют его по его
ближайшему роду и видовому отличию, которые также суть простые,
непосредственные определенности понятия - всеобщность и особенность, -
отношение между которыми не развертывается дальше. Начальные теоремы сами не
могут опираться ни на что другое, кроме таких непосредственных определений,
как те, чтб содержатся в дефинициях; а равно и их взаимная зависимость может
иметь прежде всего лишь то общее, что одно определение вообще определено
другим. Так, первые теоремы Евклида о треугольниках касаются лишь
конгруэнтности, т. е. вопроса о том, сколько частей должно быть определено в
треугольнике, чтобы были вообще определены и остальные части того же
треугольника, иначе говоря, весь треугольник в целом. То, что сравниваются
друг с другом два треугольника и конгруэнтность усматривают в наложении
[одного треугольника на другой ], - это уловка, в которой нуждается метод,
долженствующий пользоваться физическим наложением вместо мысленного - быть
определенным (Bestimmtsein). Помимо этого, рассматриваемые отдельно, эти
теоремы сами содержат две части, из которых одну можно считать понятием, а
другую-реальностью, тем, чтб завершает понятие, сообщая ему реальность. А
именно, то, чтб полностью определяет [треугольник] (например, две стороны и
заключенный между ними угол), есть для рассудка уже весь треугольник; для
исчерпывающей определенности треугольника ничего больше не требуется;
остальные два угла и третья сторона - это уже избыток реальности над
определенностью понятия. Поэтому результат указанных теорем, собственно
говоря, таков: они сводят чувственный треугольник, во всяком случае
нуждающийся в трех сторонах и трех углах, к [его] простейшим условиям;
и делающих ее треугольником; лишь теорема выражает то, что углы определены
определенностью сторон, равно как другие теоремы указывают на зависимость
других трех частей треугольника от трех упомянутых частей. - Исчерпывающую
определенность величины треугольника по его сторонам внутри его самого
содержит Пифагорова теорема; лишь она есть уравнение сторон треугольника,
тогда как предшествующие теоремы 72 доходят лишь вообще до установления
определенности его частей по отношению друг к другу, а не до уравнения. Вот
почему эта теорема есть совершенная, реальная дефиниция треугольника, а
именно прежде всего прямоугольного треугольника, наиболее простого в своих
различиях и потому наиболее правильного. - Этой теоремой Евклид заканчивает
первую книгу, так как теорема и в самом деле есть достигнутая совершенная