одновременно с понятием бесконечно большого - эти два понятия взаимно
предполагают друг друга, точно так же как это мы видели у Николая
Кузанского.
минимум" Николая Кузанского, а галилеево "бесконечно большое" - на
"абсолютный максимум". И в основе галилеевского построения лежит идея
тождества этих противоположностей, в конечном счете восходящая к тождеству
единого и бесконечного, составляющему центральный принцип учения Кузанца.
совпадению "максимума" и "минимума" Николая Кузанского, нетрудно убедиться
еще на одном примере. Опять-таки с помощью математического рассуждения
Галилей пытается доказать тезис Кузанца о тождестве единого и бесконечного.
Галилей считает само собой разумеющимся, что квадратов целых чисел должно
быть столько же, сколько существует самих этих чисел, так как каждый
квадрат имеет свой корень и каждый корень - свой квадрат. А между тем "всех
чисел больше, чем квадратов, так как большая часть их не квадраты.
Действительно, число квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции
убывает по мере того, как мы переходим к большим числам; так, из числа до
ста квадратами являются десять, то есть одна десятая часть; до десяти тысяч
квадратами будут лишь одна сотая часть; до одного миллиона - только одна
тысячная часть. А в отношении бесконечного числа, если бы только мы могли
постичь его, мы должны были бы сказать, что квадратов столько же, сколько
всех чисел".
"...продолжая деление и, умножая число частей в предположении приблизиться
к бесконечности, мы на самом деле удаляемся от нее... Мы видели... что чем
к большим числам мы переходим, тем реже попадаются в них квадраты и еще
реже - кубы; отсюда ясно, что, переходя к большим числам, мы все более
удаляемся от бесконечного числа; отсюда можно вывести заключение... что
если какое-либо число должно являться бесконечностью, то этим числом должна
быть единица; в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые
признаки, которым должно удовлетворять бесконечно большое число, поскольку
она содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и сколько чисел
вообще".
со способом мышления Николая Кузанского, а именно с его диалектикой
"совпадения противоположностей", опять-таки представляет собой парадокс.
Единица в понимании античных математиков и философов не являлась числом, а
рассматривалась как "начало числа", или "принцип числа"; она есть
математический "представитель" того самого единого, которое, в конечном
счете, непостижимо. Единица, или единое, порождает все числа при соединении
с противоположным ему началом - беспредельным. Ни сама единица, ни
беспредельное не суть числа, как поясняли пифагорейцы: первым числом у них
является тройка (ибо двойка - это тоже еще не число, а символ
беспредельного).
тождественными, и единица, таким образом, есть бесконечное. При этом
Галилей, подобно Кузанцу, мыслит бесконечность как актуальную. Сам пример,
приведенный Галилеем, представляющий собой утверждение о том, что множество
квадратов равномощно множеству всех натуральных чисел, предвосхищает
положения теории множеств Георга Кантора.
быть получено на том пути, на котором мы приходим к понятию бесконечности
потенциальной; то действие, которое мы осуществляем, деля, допустим,
отрезок пополам, затем на четыре части, на восемь частей и т.д. до
бесконечности, никогда не приведет нас к получению актуально бесконечного
множества, ибо "такой процесс постепенного деления конечных величин
необходимо было бы продолжать вечно; достигнуть же таким путем приближения
к неделимым в конечный период времени совершенно невозможно".
актуально бесконечную путем постепенного ее увеличения: как замечает
Галилей, идя этим путем, мы удаляемся от актуальной бесконечности. Между
конечным и актуально бесконечным - непереходимый рубеж; как выражается
Галилей, можно обнаружить своеобразное "противодействие природы, которое
встречает конечная величина при переходе в бесконечность". Галилей приводит
и пример такого "противодействия природы": если мы будем увеличивать радиус
круга, то длина окружности будет также увеличиваться, однако это будет
происходить только до тех пор, пока радиус будет оставаться как угодно
большой, но конечной величиной. При переходе к актуально бесконечному
радиусу (когда круг становится "большим из всех возможных") круг исчезает и
на его месте появляется бесконечная прямая. Ясно, продолжает Галилей, что
"не может быть бесконечного круга; отсюда как следствие вытекает, что не
может быть ни бесконечного шара, ни другого бесконечного тела, ни
бесконечной поверхности". Галилеев пример, как видим, заимствован у Николая
Кузанского и должен пояснить то же, что пояснял и Кузанец: принципиальное
различие между потенциальной бесконечностью, которая всегда связана с
конечным (хотя и как угодно большим) числом, телом, временем, пространством
и т.д., и бесконечностью актуальной, которая предполагает переход в иной
род, изменение сущности, а не количества.
теснейшим образом связаны со свойствами круга (и в математике, и в физике),
не могла допустить актуальной бесконечности и нашла способы избегать его,
тем самым освобождаясь от парадоксов, неизбежно сопровождающих это понятие.
все те следствия, которые с необходимостью вытекают из этого
понятия-парадокса. Так, к понятию актуально бесконечного неприменимы
предикаты "больше", "меньше" или "равно". "...Такие свойства, - говорит
Сальвиати, - как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к
бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность
больше или меньше другой или равна ей". Это почти цитата из Николая
Кузанского, многократно подчеркивавшего, что к бесконечному неприменимы те
определения, которыми пользуется наш рассудок, имея дело с конечными
вещами. При переходе к актуальной бесконечности теряют свою силу все то
допущения и операции, на которых до сих пор стояла математика. Актуально
бесконечные множества, говорит Галилей, содержатся как в отрезке любой
конечной длины, так и в бесконечной линии, - ибо могут ли быть равными
бесконечности? Именно такое допущение делает Сагредо: "На основании
изложенного, - замечает он, - мне кажется, нельзя утверждать не только
того, что одно бесконечное больше другого бесконечного, но даже и того, что
оно больше конечного". Ход мысли здесь понятен: поскольку в любом конечном
отрезке, как бы мал он ни был, лишенных величины точек обязательно будет
бесконечное число, то на этом основании он должен быть так же точно
причислен к бесконечному, как и бесконечная линия. Вот почему Сальвиати
соглашается с Сагредо: "...понятия "больший", "меньший", "равный" не имеют
места не только между бесконечно большими, но и между бесконечно большим и
конечным".
бы в противоречии не только с физикой и метафизикой Аристотеля, но и с
математикой Евдокса - Евклида - Архимеда, т.е. в противоречии с
методологическими основаниями античной науки в целом. Чтобы окончательно
разрушить тот барьер, который Аристотель поставил проникновению актуально
бесконечного в науку, чтобы доказать несостоятельность аристотелевского
решения апорий Зенона и дать этим последним право гражданства в научной
мысли, Галилей предпринимает еще одну дерзкую попытку. В ответ на
возражение аристотелика Симпличио, что любую линию можно делить до
бесконечности, но нельзя разделить на актуально бесконечное множество
неделимых точек (ибо линия, по Аристотелю, не состоит из неделимых, как и
всякий континуум, - будь то время или непрерывное движение), Галилей
заявляет, что "разложение линии на бесконечное множество ее точек не только
не невозможно, но сопряжено не с большими трудностями, чем разделение на
конечные части". Производится же это разложение с помощью того самого
предельного перехода от многоугольника с как угодно большим количеством
сторон к многоугольнику с актуально бесконечным количеством сторон, т.е. к
окружности, который обычно применяют и Кузанец, и Галилей. Предложенный
Галилеем прием, по его словам, должен заставить перипатетиков "принять, что
континуум состоит из абсолютно неделимых атомов".
представление о круге как наглядно данной актуальной бесконечности, т.е. о
линии, актуально разделенной на бесконечно большое число неделимых. Не
только в науке, но и в философии нового времени круг становится символом
актуальной бесконечности. Именно в этой роли мы встречаем его впоследствии
у Гегеля, который противопоставляет актуально бесконечное как истинно
бесконечное "дурной" - потенциальной бесконечности. Последняя для него
воплощается в образе прямой линии, уходящей в бесконечность, а первая - в
виде замкнутой линии, т.е. круга. Интересно, что при этом Гегель считает,
что возвращается к исходным понятиям античной науки, прежде всего к Платону
и Аристотелю, тогда как в действительности он стоит на почве,
подготовленной Николаем Кузанским и Галилеем. В античности круг - это не
образ актуально бесконечного, а образ целого, которое отнюдь не
тождественно актуально бесконечному нового времени, хотя не один только
Гегель произвел отождествление этих двух понятий.
таким образом, приходит к выводу, что континуум состоит из неделимых
атомов. Это утверждение возвращает его к той проблеме, в связи с которой он
и предпринял свой анализ понятия бесконечного, а именно к проблеме
связности частей твердого тела. Интересно, что теперь Галилей может
отбросить ту вспомогательную гипотезу, к которой прибег в начале, -
гипотезу о пустых промежутках в твердых телах. "...Приняв, что тела состоят
из неделимых частиц, мы можем, как мне кажется, понять и явления разрежения
Афанасьев Роман
Шилова Юлия
Свержин Владимир
Суворов Виктор
Майер Стефани
Херберт Фрэнк