возражение Симпличио, что это геометрическое заключение не может быть
распространено на материальный шар и материальную плоскость.
того, что вещи, взятые конкретно, не соответствуют вещам, рассматриваемым в
абстракции.
доказывает, что они в точности соответствуют.
которое должно бы быть совершенно сферичным, и та плоскость, которая должна
бы быть совершенно плоской, конкретно не оказываются такими, какими Вы их
представляете себе в абстракции?
сферу к материальной плоскости, Вы прикладываете несовершенную сферу к
несовершенной плоскости и говорите, что они соприкасаются не в
одной-единственной точке. А я Вам говорю, что и в абстракции нематериальная
сфера, которая является несовершенной сферой, может касаться
нематериальной, также несовершенной плоскости не одной точкой, а частью
поверхности. Так что то, что происходит конкретно, имеет место и в
абстракции... Итак, ошибки заключаются не в абстрактном, не в конкретном,
не в геометрии, не в физике, но в вычислителе, который не умеет правильно
вычислять. Поэтому, хотя у вас есть совершенные сфера и плоскость хотя бы и
материальные, не сомневайтесь, что они соприкасаются в одной точке".
быть несовершенными, - значит зачеркнуть самые предпосылки геометрической
науки, исходящей из того, что геометрическая сфера полностью соответствует
своему понятию. Галилеево рассуждение покоится на убеждении, что между
идеей разума, как сказал бы Платон, и чувственной вещью принципиального
различия нет: и та и другая могут быть как совершенными, так и
несовершенными. Для того чтобы это доказательство действительно получило
полную силу, нужно переосмыслить античное понятие материи гораздо
радикальнее, чем это сделал сам Галилей. Недостаточно прийти к мысли, что
материя неизменяема и более устойчива, чем форма. Необходимо элиминировать
из понятия материи все то, благодаря чему материальные тела отличаются от
геометрических фигур. Этого шага Галилей сделать не смог, а потому в своих
доказательствах он рассуждает не столько как математик, сколько как инженер.
галилеевский принцип тождества математического и физического знания сделал
Рене Декарт. Следуя галилеевскому ходу мысли, Декарт пришел к выводу, что
материя есть не что иное, как пространство. Принимая во внимание, что
Декарт предложил решение не только этого, но и ряда других затруднений
Галилея, можно утверждать, что именно он, а не Галилей создал первую
научную программу нового времени.
математического и физического не как доказанного, а как принятого условно.
"Было бы... правильнее, - пишет он, - принять заключение хотя бы условно, а
именно что если бы в природе существовали и сохранялись без изменения
совершенные сферы и плоскости, то они соприкасались бы в одной-единственной
точке, а затем уже отрицать возможность этого в действительности".
для построения механики как строгой науки ему необходимо отождествить
математическое доказательство и его демонстрацию в физическом эксперименте.
С другой стороны, он сознает, что ему недостает теоретических аргументов,
чтобы безукоризненно доказать возможность такого отождествления. Здесь
Галилею еще мешают усвоенные им принципы античной математики, шире говоря,
то понятие науки, которое сложилось в античности и которое не допускает
мысли о том, что в собственном смысле достоверно познать мы можем лишь то,
что создали сами. Важный шаг на пути к этому поворотному пониманию науки
был сделан Декартом. Что же касается Галилея, то ему, подготовившему это
новое понимание науки, сделавшему больше, чем кто-либо иной для разрушения
старого фундамента научного знания, не удалось философски осмыслить то, что
он делал; поэтому, вынужденный мыслить в прежних категориях, он время от
времени соглашается с теми, кто не может увидеть в создаваемой им механике
строго научной теории. "...Все выдвигаемые вами затруднения и возражения, -
отвечает Галилей своим оппонентам, т.е. самому себе, своим собственным
сомнениям, - настолько основательны, что устранить их невозможно... Я
допускаю, что выводы, сделанные абстрактным путем, видоизменяются в
конкретных случаях и настолько искажаются, что ни поперечное движение не
будет равномерным, ни ускоренное движение при падении не будет
соответствовать выведенной пропорции, ни траектория брошенного тела не
будет параболой и т.д."
которого он опять-таки пытается истолковывать в нужном для себя смысле.
"...Я прошу вас разрешить нашему Автору принимать то, что принималось
некоторыми величайшими мужами, хотя и неправильно. Авторитет одного
Архимеда должен успокоить в этом отношении кого угодно. В своей "Механике"
и книге о квадратуре параболы он принимает как правильный принцип, что
коромысло весов является прямой линией, равноудаленной во всех своих точках
от общего центра всех тяжелых тел, и что нити, к которым подвешены тяжелые
тела, параллельны между собою. Подобные допущения всеми принимались, ибо на
практике инструменты и величины, с которыми мы имеем дело, столь ничтожны
по сравнению с огромным расстоянием, отделяющим нас от центра земного шара,
что мы смело можем принять шестидесятую часть градуса соответствующей
весьма большой окружности за прямую линию, а два перпендикуляра, опущенные
из ее концов, - за параллельные линии. Если бы в наших практических делах
нам следовало считаться с подобными ничтожными величинами, то нам, прежде
всего, пришлось бы осудить архитекторов, которые берутся воздвигать при
помощи отвеса высокие башни с параллельными стенами... Как Архимед, так и
другие ученые исходили в своих рассуждениях из предположения бесконечной
удаленности от нас земного центра, а тогда их предпосылки совершенно
справедливы и доказательства абсолютно строги".
Земли бесконечно удален от нас; он считал космос (а не только Землю) очень
большим, но конечным телом, так же как и Аристотель. А раз так, то и
доказательства свои, основанные на показаниях приборов, он никогда не
считал "абсолютно строгими". Способ доказывать точность приблизительного
знания через допущение бесконечности, по сравнению с которой все конечные
величины равны между собой, античной науке чужд. Этот способ доказательства
мы впервые встречаем у Николая Кузанского, где он обосновывается
философски, а его применение в механике и математике - у Галилея. Ссылку на
Архимеда здесь, если быть исторически точным, следовало бы заменить ссылкой
на Кузанца.
Галилей сталкивается с теми же трудностями, что и в вопросе о бесконечности
и континууме. Попытки разрешить эти трудности предприняли Декарт, Ньютон,
Лейбниц и Кант.
программы именно потому, что почти все его важнейшие понятия содержат в
себе противоречие.
методологические принципы.
континуум состоит из неделимых, природа которых парадоксальна: они сами не
имеют величины, но из их бесконечного множества составляется любая конечная
величина. Тут одно непонятное - лишенная величины составная часть тела -
объясняется через другое непонятное: актуально существующее бесконечное
множество. Это понятие-парадокс получает название бесконечно малого и
играет важную роль как в механике Галилея, так и в его математике. О том,
что Галилей хорошо понимал противоречивый характер своего учения о
неделимых (бесконечно малых), свидетельствует тот факт, что когда его
ученик Кавальери решил на базе этого понятия создать новую геометрию -
геометрию неделимых, не кто иной, как сам Галилей, откровенно говорил ему о
сомнительности его исходных принципов. Хотя письмо Галилея к Кавальери и не
сохранилось, но по некоторым высказываниям самого Галилея и по ответу
Кавальери на письмо Галилея можно судить о том, что именно понятие суммы
бесконечно малых Галилей считал теоретически несостоятельным. Вот что пишет
Кавальери, в сдержанной форме упрекая самого Галилея в противоречивости его
понятия неделимых: "Чтобы не казалось, что я не проявил должного почтения к
столь великому учителю, я прошу читателя обратить внимание на то, что
Галилей в цитированном выше месте придерживается двух предпосылок: что
непрерывное состоит из неделимых (в частности, линия - из точек,
бесконечных по числу) и что существует линия, бу льшая, чем другая линия...
Итак, он признает, что некоторая совокупность бесконечного числа членов
может быть больше другой, что не противоречит, но благоприятствует моей
точке зрения". Упрек Кавальери Галилею вполне резонен: ведь возражая
Кавальери, считавшему, что одно бесконечное может быть больше другого,
Галилей писал, что одно бесконечное не может быть больше, меньше или равно
другому бесконечному, ибо между ними не существует отношения.
решению этого вопроса. В этом пункте нельзя не согласиться с выводом С. Я.
Лурье, подробно изучавшего диалог Кавальери и Галилея: "...Галилей вообще
не выставил никакой связной математической теории неделимых: стоя на
атомистической точке зрения (непрерывное состоит из неделимых, линия
состоит из точек), он в то же время видел логические несообразности, к
которым приводила эта теория; компромисс Кавальери его не удовлетворял, он
не хотел понять Кавальери, чувствовал, что математический атомизм необходим
Володихин Дмитрий
Володихин Дмитрий
Русанов Владислав
Посняков Андрей
Шилова Юлия
Суворов Виктор