проблем: "Выведение из принципов опять-таки распадается на задачи
(проблемы) и положения (теоремы). Первые обнимают собою построение фигур,
разделение, вычитание и прибавление и вообще все, что с ними можно делать
(vornehmen); последние указывают существенные свойства... Если кто-то
формулирует задачу так: вписать в круг равносторонний треугольник, то он
говорит о проблеме; ибо возможно вписать в круг также и неравносторонний
треугольник. И опять-таки: на данном, точно определенном, отрезке построить
равносторонний треугольник - это тоже проблема, ибо можно построить также и
неравносторонний. Но если кто-то формулирует положение, что в
равнобедренных треугольниках углы при основании равны, то можно сказать,
что он формулирует теорему, ибо невозможно, чтобы в каком-нибудь
равнобедренном треугольнике углы при основании не были равны".
определенному объекту приписывается свойство, которое ему присуще с
необходимостью.
определенным способом, и нужно найти эти способы, изобрести их и выполнить
требуемое построение. Характерной особенностью задачи (проблемы) является
то, что требуемое построение - отнюдь не единственно возможное: при
заданных условиях можно осуществить и другое построение.
неистинным; к проблеме же определение "истинно - неистинно" не может быть
применено.
рассмотрению аксиом и постулатов. "Общим для аксиом и постулатов, - пишет
он, - является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком
геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и
являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так
же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы
ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае
проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае
аксиом принимается то, что сразу видно и не представляет никаких
затруднений для нашего необученного (ungeschulten) мышления. Но в случае
постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и
относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном
методе и ни в какой конструкции".
дискутировавшийся среди математиков и философов вопрос о двух последних
постулатах (4 и 5-й) и некоторых аксиомах (7 и 9-·), то с различением,
которое здесь приводит Прокл, трудно не согласиться.
математики и философы обсуждали значение недоказуемых предпосылок в
геометрии. Ученик Платона Спевсипп не соглашался с математиком Менехмом,
учеником Евдокса; их спор был продолжением полемики самого Платона с
Архитом, Евдоксом и другими математиками относительно применимости в
геометрии принципа построения. Во всяком случае, Г.Г. Цейтен считает, что
спор между Менехмом и Спевсиппом подобен тому, который начался еще раньше
между Евдоксом и Платоном, и что этот спор касается доказательства
существования геометрических объектов. "...Платоники, - пишет Цейтен, -
утверждали, что равносторонний треугольник существует до построения его,
Менехм же, очевидно, должен был доказывать, что в его реальном
существовании мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что это
построение приводит действительно к преследуемой им цели. Но так именно
поступает Евклид: он не довольствуется определением равносторонних
треугольников; прежде чем начать пользоваться ими, он убеждается в их
существовании, решив в первой теореме своей первой книги задачу о
построении этих треугольников; затем он доказывает правильность этого
построения".
платоника Спевсиппа, существование геометрических объектов (того же
равностороннего треугольника) не может быть доказано с помощью построения,
ибо геометрические объекты тождественны идеям и существуют от века, а
Менехм и вслед за ним Евклид не согласны со Спевсиппом. Что касается
названных математиков, то их позицию Цейтен характеризует следующим
образом: "Основное значение геометрического построения заключается в
доказательстве реального существования того самого объекта, к нахождению
которого приводит это построение". К этой позиции присоединяется и сам
Цейтен, считая, что постулаты Евклида представляют собой доказательства
существования геометрических объектов: первый постулат - доказательство
существования отрезка прямой, второй - неограниченно продолженной прямой,
третий - круга.
"придерживались того взгляда, что наукам о духовном (Geisteswissenschaften)
приличествует скорее название теорем, чем проблем, поскольку они занимаются
непреходящим предметом. Ибо в сфере непреходящего не существует
становления, так что в ней нет места для проблемы, которая предполагает
становление и создание чего-то такого, чего до этого не было, как,
например, построение равностороннего треугольника или построение квадрата с
данной стороной... Согласно им, следовательно, правильнее сказать, что все
есть одно и то же и что мы рассматриваем его становление не деятельным, а
познающим способом, тем, что берем вечно сущее как нечто становящееся,
поэтому мы скажем, что все следует брать в смысле теорем, а не проблем.
Другие же, как, например, школа математики Менехма, хотят характеризовать
весь комплекс как проблемы. Но задача при этом является двойственной: она
означает то изобретение чего-то искомого, то исследование определенного
объекта с целью узнать, что он такое, или каким свойством обладает, или в
каком отношении он находится к другому объекту".
на позицию Спевсиппа: когда мы обращаемся к геометрическому объекту,
например равностороннему треугольнику, то мы не просто познаем вечно-сущую
идею, а "берем вечно-сущее как нечто становящееся". Главное расхождение
Спевсиппа с Менехмом касается, стало быть, не вопроса о том, что такое
треугольник: вечно-сущая идея или конструкция, порождаемая нами самими, а
вопроса о том, как понимать это рассмотрение становления - как деятельность
(т.е. как построение) или как познание.
кажется, что произошло это вот по какой причине. Всем известно, что Платон
критиковал современных ему математиков за то, что те пользовались
определенными механическими орудиями для решения математических задач, в
том числе и для построения фигур. Ясно также, какие орудия нужны для
выполнения первых трех постулатов Евклида: линейка и циркуль. Естественно
поэтому, что приведенные Проклом соображения Спевсиппа против построения
как доказательства существования геометрических объектов были восприняты
как прямое продолжение возражений Платона, направленных против
"использования вспомогательных инструментов". Отсюда возникла и мысль, что
Платон и Спевсипп считали геометрические объекты существующими реально от
века, подобно вечным и неизменным идеям.
свидетельств древних авторов. Более того, утверждение Спевсиппа, что
геометрические объекты представляют собой "вечно сущее в становлении",
указывает на то, что эти объекты имеют несколько иной онтологический
статус, чем идеи. Но, прежде чем внести ясность в этот вопрос, посмотрим,
за что Платон критиковал современных ему математиков.
бытия математика может выполнять, согласно Платону, две разные задачи:
во-первых, служить цели приобщения человека к более высокому - к созерцанию
идеи блага - и, во-вторых, быть средством упорядочения и расчленения низшей
сферы - текучего и неуловимого становления. Первая ее функция оценивается
Платоном неизмеримо выше второй: "При устройстве лагерей, занятии
местностей, стягивании и развертывании войск и разных других военных
построениях как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется
разница между знатоком геометрии и тем, кто ее не знает. - Но для этого
было бы достаточно какой-то незначительной части геометрии и счета. Надо,
однако, рассмотреть преобладающую ее часть, имеющую более широкое
применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать
идею блага?"
Платоном как ее прикладная функция, и хотя он против этого применения не
возражает, но опасается, как бы из-за него не затемнилось и не исказилось
понимание самой природы и сущности как математики, так и всей науки вообще.
А это "затемнение и искажение", согласно Платону, сказывается в том, что
из-за возможности применять математические знания на практике в саму
математику вносятся механические методы.
"Государство", - не будет оспаривать, что наука эта полностью
противоположна тем словесным выражениям, которые в ходу у занимающихся ею.
практическим делом и имеют в виду интересы этого дела, они употребляют
выражение "построим" четырехугольник, "проведем" линию, "произведем
наложение" и так далее: все это так и сыплется из их уст. А между тем все
это наука, которой занимаются ради познания.
возникает и гибнет... Значит, она влечет душу к истине и воздействует на
философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна
вопреки должному".
Сертаков Виталий
Роллинс Джеймс
Доценко Виктор
Андреев Николай
Журавлев Владимир
Посняков Андрей