полном смысле удовлетворяет требованию "не входить в изучение никаких
частных предметов". Арифметику и геометрию Декарт стремится как можно более
уподобить алгебре, отходя в этом смысле от того их понимания, которое было
в античности. Алгебра становится для Декарта образцом математической науки
именно потому, что он рассматривает математику как науку об исчислении,
совершенно абстрагируясь от специфики той предметной области, к которой
применяется исчисление. Естественно, что тем самым Декарт в значительной
мере сближает математику как теоретическое знание с логистикой (или
калькуляцией, как ее называли в средние века), т.е. техникой счета, отходя
тем самым от строгого понятия математики, как оно сложилось в классический
период античной науки (с V по III в. до н. э.). Не удивительно, что Декарт
подвергает критике античную математику, отмечая, что доказательства в ней
были достигнуты "скорее благодаря случайности, чем искусству" и относятся
"скорее к зрению и воображению, чем к интеллекту". Тем самым Декарт
зачисляет античную математику в разряд той науки, что еще не
руководствовалась сознательно применяемым методом и развивалась
беспорядочно, продвигаясь ощупью. Почтительное отношение к античной
математике как к непревзойденному образцу строгости и доказательности,
господствовавшее на протяжении всего средневековья и характерное еще для
XV-XVI вв., включая даже и Галилея, сменяется у Декарта высокомерным и
критическим отношением к ней. Правда, он называет имена Паппа и Диофанта,
но именно потому, что Диофант был первым греческим математиком,
использовавшим алгебраические методы, а интересы Паппа больше, чем других
античных математиков, были ориентированы на практическое применение
математики.
Декарта с Платоном на том основании, что оба видели в математике самую
достоверную из наук и считали, что только она может обеспечить базу для
физики, упускает из виду различия между этими мыслителями в понимании как
самой математики, так и ее роли в познании. Во-первых, Платон видел в
математике прежде всего средство к подготовке ума для постижения некой
сверхчувственной реальности - умопостигаемого мира идей, тогда как Декарт
рассматривает ее как средство познания эмпирического мира. Во-вторых,
Платон резко противопоставляет математику как теоретическую науку логистике
как технике вычисления, тогда как Декарт, напротив, сближает эти две сферы,
сравнивая деятельность математика с работой ткача; у Декарта мы нередко
встречаем почти полное отождествление геометра с калькулятором. И, наконец,
Платон считает математику содержательной наукой, поскольку она имеет свой
особый предмет исследования: арифметика - числа и их отношения, а геометрия
- соотношения фигур. Декарт, в отличие от него, убежден, что математика
есть наука формальная, что ее правила и понятия - это создания интеллекта,
не имеющие вне его никакой реальности, и что поэтому математику совершенно
все равно, что "считать": числа, звезды, звуки и т.д. В результате Декарт,
подобно калькуляторам, или счетчикам, предлагает пренебречь строгими
определениями понятий, введенными античной математикой. Так, например,
точку, которую Евклид определяет как "то, что не имеет частей", Декарт
предлагает мыслить как "нечто, обладающее в полном смысле этого слова
протяжением и бесконечным количеством измерений". Поскольку геометрические
фигуры - линии, треугольники, прямоугольники и т.д. - в аналитической
геометрии, созданной Декартом, играют роль знаков, обозначающих совсем
другие связи и отношения, то они легко превращаются в средство для счета и
теряют свое собственное значение, так что, например, прямоугольник и линия,
как указывает Декарт, больше не должны принципиально различаться. "...В
процессе действия часто бывают случаи, когда какой-либо прямоугольник,
после того как он был произведен умножением двух линий, вскоре для другого
действия требуется понимать как линию..."
снимает. "...Мы стремимся достичь очевидного и отчетливого познания вещей,
счетчики же не делают этого потому, что удовлетворяются отысканием нужного
им числа, не замечая зависимости его от данных чисел, между тем как только
в этом и заключается наука".
не только у Декарта, но и вообще в математике и механике XVII в. Я имею в
виду понятие функции. Правда, Декарт еще не употребляет термин "функция",
но реально он оперирует понятием функциональной зависимости. Как пишет А.П.
Юшкевич, Декарт вводит "понятие о функции как аналитическом выражении
кинематически построенной кривой".
обстоятельство, что Декарт считал несущественным различие между линиями
геометрическими (т.е. построенными с помощью циркуля и линейки) и так
называемыми механическими линиями, такими, как конхоида, циссоида и др.,
описываемыми разными механическими устройствами. Тут проходит водораздел
между Декартом и античными математиками, которые строго различали эти два
вида линий. По Декарту, механические линии ничем принципиально не
отличаются от геометрических при условии, что механические линии "описаны
непрерывным движением или же несколькими такими последовательными
движениями, из которых последующие вполне определяются им предшествующими".
Что касается кривых, "описанных двумя отдельными движениями", то их Декарт
относит не к геометрии, а к механике, ибо, как он говорит, "между ними не
существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить".
которой находится понятие функции. Введение понятия функции сыграло важную
роль не только в создании новой математики, но и в формировании нового
понятия науки. Отныне ученые все яснее начинают осознавать, что наука - это
не просто познание вечного и неизменного, - цель, какую ставила себе
античная математика, но что она скорее есть постижение законов движения и
изменения, установление закономерностей связи элементов движущегося объекта.
величин, из которых одна есть функция другой, Декарт тем самым вносил в
математику принцип движения. Уже из приведенных выше соображений Декарта
относительно так называемых механических линий нетрудно видеть, что понятие
функции обязано своим появлением сближению математики с механикой.
движение, разве Аристотель не устанавливал функциональную зависимость -
скажем, пройденного телом пути от времени и скорости движущегося тела?
Действительно, физика, как ее понимали в рамках перипатетической программы,
была наукой о движении и изменении в природном мире, но это не была наука
математическая. И это не случайно: ведь античная математика не имела своим
предметом движение, она была наукой о вечных и неподвижных структурах,
составляющих неизменную основу всего изменчивого.
соединение, положившее начало экспериментально-математическому
естествознанию нового времени, требовало, во-первых, пересмотра оснований
античной математики, внесения в нее начала движения, а во-вторых,
пересмотра старой физики, освобождения ее от предпосылки, что сфера
реального, природного бытия принципиально отличается от сферы бытия
идеального, каким занимается математика.
начало жизни и души, без которых не мыслили природу ни платоники, ни
перипатетики. Оба эти процесса - пересмотр античной математики, с одной
стороны, и античной физики - с другой, составляют содержание "универсальной
науки" Декарта.
помощью которого можно "считать" любую реальность, устанавливая в ней меру
и порядок с помощью нашего интеллекта. "Если нет налицо какой-либо
определенной единицы измерения, - пишет Декарт, - то мы при решении задачи
можем взять взамен ее или одну из данных уже величин, или любую иную,
которая и будет общей мерой для всех остальных". Декарт ясно дает себе
отчет в том, что для конструирования в понятиях того мира, который он
именует "новым", он поступает как инженер, создающий задуманный механизм, а
потому и к математике он подходит в определенном смысле с меркой инженера,
видящего в ней средство для расчета деталей своей машины в нужных
пропорциях. Единицу измерения при этом естественно брать условную; точка,
линия, поверхность играют роль удобных условных обозначений; алгебра потому
и есть образец для "универсальной науки", что в ней заложено больше всего
возможностей для построения условного мира, который мыслится Декартом как
механизм, воспроизводящий те же следствия, что мы наблюдаем и в реальном
мире.
Декарта очень большую роль. Рассматривая понятия математики и ее
определения как абстракции ума, Декарт на первый взгляд оказывается близким
к Аристотелю. Однако Аристотель на этом основании отказывал математике в
праве быть фундаментом физики, считая, что математика в силу абстрактной
односторонности своих понятий не может ухватить сущность природной
реальности. Напротив, Декарт видит в математике, понятой столь
конвенционалистски, теоретическую и методологическую базу для всех наук о
природе. В этом - специфика понимания как математической науки, так и самой
природы в XVII в. в отличие от их понимания в античности и в средние века.
мышлении греков, которое в определенной мере продолжается и в средневековой
философии, ставился метафизический вопрос о способе бытия числа. Вопрос
этот гласил: являются ли числа, единства из единиц, самостоятельным сущим
наряду со считаемыми вещами и помимо них или же они суть сами вещи, взятые
с точки зрения их единства, или же, наконец, их бытие придается им только
считающим интеллектом? Этот вопрос уже нельзя поставить по отношению к
новым числам, ибо они функционируют только как равенства величин и получают
свое значение только в ходе расчета. Поэтому допускаются и отрицательные
числа, так как символические числа имеют смысл только как равенства
величин". Действительно, у Декарта мы не находим специального обсуждения
вопроса о природе числа; у него число не отличается принципиально от
Володихин Дмитрий
Каменистый Артем
Сертаков Виталий
Конан-Дойль Артур
Роллинс Джеймс
Орлов Алекс