многие "одни", которые составляют его наличное бытие, но содержит их не
неопределенным образом, а определенность границы относится именно к нему;
граница исключает другое наличное бытие, т. е. другие "многие", и
охватываемые ею "одни" суть определенное множество, численность, для которой
как дискретности, какова она в числе, другим служит единица, ее
непрерывность. Численность и единица составляют моменты числа.
образом многие "одни", из которых она состоит, заключены в границе. О
численности правильно говорится, что она состоит из "многих", ибо "одни"
находятся в ней не как снятые, а суть в ней, только положенные вместе с
исключающей границей, к которой они безразличны. Но граница не безразлична к
ним. При [рассмотрении нами] наличного бытия отношение к нему границы
оказалось прежде всего таким, что наличное бытие как утвердительное
оставалось по ею сторону своей границы, а граница, отрицание, находилась вне
его, у его края; точно так же во многих "одних" прерыв их и исключение
других "одних" выступает как определенное, которое имеет место вне
охватываемых "одних". Но там оказалось, что граница пронизывает наличное
бытие, простирается столь же далеко, как оно, и что вследствие этого нечто
ограничено по своему определению, т. е. конечно. - В числе как количестве
представляют себе, например, сто так, что только сотое "одно" ограничивает
"многие" таким образом, что они составляют сто. С одной стороны, это
правильно; с другой же, из ста "одних" никакое не обладает преимуществом,
так как они только одинаковы; каждое из них есть в такой же мере сотое, как
и другие; все они, следовательно, принадлежат к той границе, благодаря
которой данное число есть сто; для своей определенности это число не может
обойтись ни без одного из них; прочие "одни", следовательно, не составляют в
сравнении с сотым "одним" такого наличного бытия, которое находилось бы вне
границы или лишь внутри ее, вообще было бы отлично от нее. Численность не
есть поэтому некоторое множество в противоположность охватывающему,
ограничивающему "одному", а сама составляет это ограничение, которое есть
некое определенное количество; "многие" составляют одно число, одну двойку,
один десяток, одну сотню и т. д.
отличение данного числа от других. Но это отличие не становится качественной
определенностью, а остается количественным, относится лишь к сравнительной
внешней рефлексии. Число как "одно" остается возвращенным к себе и
безразличным к другим. Это безразличие числа к другим есть его сущностное
определение; оно составляет его в-себе-определен-ность, но в то же время и
его собственную внешность. - Число есть, таким образом, нумерическое "одно"
как абсолютно определенное "одно", которое имеет в то же время форму простой
непосредственности и для которого поэтому соотношение с другим совершенно
внешнее. Как такое "одно", которое есть число, оно, далее, имеет
определенность (поскольку она есть соотношение с другим) как свои моменты
внутри самого себя, в своем различии между единицей и численностью, и
численность сама есть множество "одних", т. е. в нем самом имеется этот
абсолютно внешний характер. - Это противоречие числа или определенного
количества вообще внутри себя составляет качество определенного количества,
- качество, в дальнейших определениях которого это противоречие получает
свое развитие.
созерцания]
величин таким образом, что пространственная величина сама по себе есть столь
же определенная величина, как и числовая величина. Их различие, как
полагают, состоит лишь в различных определениях непрерывности и
дискретности, как определенное же количество они стоят на одной ступени.
Геометрия, вообще говоря, имеет своим предметом в виде пространственной
величины непрерывную величину, а арифметика в виде числовой величины -
дискретную. Но вместе с этой неодинаковостью предмета они не имеют и
одинакового способа и совершенства ограничения или определенности.
Пространственная величина имеет лишь ограничение вообще; поскольку она
должна рассматриваться как безусловно определенный квант, она нуждается в
числе. Геометрия, как таковая, не измеряет пространственных фигур, не есть
искусство измерения, она лишь сравнивает их. В даваемых ею дефинициях
определения также отчасти заимствуются ею из равенства сторон, углов, из
равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно лишь на
равенстве расстояния всех возможных в нем точек от одного центра, не
нуждается для своего определения ни в каком числе. Эти определения,
основывающиеся на равенстве или неравенстве, суть подлинно геометрические.
Но их недостаточно, и для определения других фигур, например треугольника,
четырехугольника, требуется число, заключающее в своем принципе, в "одном",
определенность самостоятельную (das fur sich Bestinuntsein), а не с помощью
чего-то другого, стало быть, не через сравнение. В точке, правда,
пространственная величина имеет определенность, соответствующую "одному";
однако точка, поскольку она выходит вовне себя, становится иным, становится
линией; так как она по своему существу есть лишь "одно" пространства, то она
в соотношении становится такой непрерывностью, в которой снята точечность,
самостоятельная опре-[еленность, "одно". Поскольку самостоятельная
определенность
некоторое множество "одних", и она должна получить внутри себя границу,
определение многих "одних", т. е. величину линии - и точно так же других
пространственных определений - следует брать как число.
рассматривает их, а оперирует ими. Ибо число есть безразличная, инертная
определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне.
Способы такого соотнесения - это [четыре] арифметических действия. Они
излагаются в арифметике одно после другого, и ясно, что одно действие
зависит от другого. Однако в арифметике не выделяется нить, руководящая их
последовательностью. Но из самого определения понятия числа легко получается
систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих
элементов в учебниках. На эти руководящие определения следует здесь обратить
некоторое внимание.
сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней
связи. Таким образом, поскольку оно лишь нечто порожденное извне, всякое
исчисление есть про-дуцирование чисел, счет или, говоря более определенно,
сосчиты-вание. Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно
лишь одно и то же, может заключаться только в различии по отношению друг к
другу сосчитываемых чисел; такое различие само должно быть заимствовано
откуда-то извне и из внешнего определения.
которым мы познакомились, - различие между единицей и численностью; к этому
различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место
в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным
количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и
неравенство, которые суть рефлективные моменты и которые следует
рассматривать среди определенной сущности там, где трактуется о различии.
произведены двояко - либо сочетанием, либо разъединением уже сочетанных;
поскольку этот двоякий способ имеет место при одинаково определенном виде
счета, то сочетанию чисел (это можно назвать положительным арифметическим
действием) соответствует разъединение их (это можно назвать отрицательным
арифметическим действием), причем само определение действия независимо от
этой противоположности.
это сочетание "многих", как таковых, т. е. "многих", каждое из которых
положено лишь как "одно", - нумерование. Так как "одни" внешни друг другу,
то они представляются в чувственном образе, и действие, посредством которого
порождается число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре,
пять и т. д., это может быть лишь показано. Остановка в счете, будет ли
сочетано то или иное количество ["одних"], есть нечто случайное,
произвольное, так как граница внешняя. - Различие между численностью и
единицей, возникающее в дальнейшем развитии арифметических действий, служит
основой системы чисел-двоичной, десятеричной и т. д.; такая система покоится
в общем на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна
снова и снова быть взята как единица.
поскольку они положены столь непосредственно, они еще определены без всякого
соотношения друг с другом, безразличны к равенству и неравенству, их
величины по отношению друг к другу случайны; они поэтому вообще неравны; это
- сложение. - Что 7 и 5 составляют 12, это узнают тем, что к 7 прибавляют на
пальцах или как-нибудь иначе еще 5 "одних"; результат этого действия
сохраняют затем в памяти, помнят наизусть (auswendig), ибо при этом нет
ничего внутреннего (Innerliches). И точно так же узнают посредством счета на
пальцах и т. д., что 7х5 = 35, что к одной семерке прибавляется еще одна
семерка, повторяют это пять раз, и результат также запоминается наизусть. От
этого труда - считать, находить суммы, умножать - навсегда избавила готовая
таблица сложения или умножения, которую нужно лишь заучить наизусть.
положение 7+5-12 как синтетическое положение. "На первый взгляд, - говорит
он, - может показаться (конечно!), что это положение 7+5-12 чисто
аналитическое, вытекающее по закону противоречия из понятия суммы семи и
пяти" Понятие суммы не означает ничего, кроме абстрактного определения, что
эти два числа должны быть сочетаны и притом как числа внешним, т. е. чуждым
понятия образом, что начиная с 7 следует продолжать считать до тех пор, пока
не будут исчерпаны долженствующие быть прибавленными "одни", численность
которых определена числом 5; полученный результат носит уже заранее
Роллинс Джеймс
Пехов Алексей
Маккарти Кормак
Белов Вольф
Шилова Юлия
Орловский Гай Юлий