своей манере делать общедоступными рассматриваемые им вопросы, т. е. лишать
понятие чистоты и подменять его неправильными чувственными представлениями.
А именно он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших
разрядов относительно низших с образом действия геометра, при котором
измерение высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер сдунет
песчинку с ее вершины или если не будет принята во внимание высота домов и
башен при вычислении лунных затмений (Element. mathes. univ. Tom I. El.
analys. math. P. II. C. I. S. schol.).
геометры, напротив, отвергали такого рода представление. Сама собой
напрашивается мысль, что в математической науке идет речь вовсе не о такой
эмпирической точности и что математическое измерение посредством ли
вычислении или посредством геометрических построений и доказательств
совершенно отлично от измерения земли, от измерения эмпирических линий,
фигур и т. п. Да и помимо того, как уже было указано выше, аналитики,
сравнивая результаты, получаемые строго геометрическим путем, с
результатами, получаемыми методом бесконечно малых разностей, доказывают,
что они одинаковы и что большая или меньшая точность [здесь] вовсе не имеет
места. А ведь само собой разумеется, что абсолютно точный результат не мог
бы получиться при неточном способе действия. Однако, с другой стороны, сам
способ действия, несмотря на протесты против приведенных в оправдание
доводов, не может обойтись без пренебрежения [величиной ] на том основании,
что она незначительна. И в этом состоит трудность, побуждающая аналитиков
объяснить заключающуюся здесь бессмыслицу и устранить ее.
общего определения Ньютона, он твердо убежден, что дифференциальное
исчисление рассматривает отношения приращений величины, но что бесконечно
малую разность, как таковую, следует рассматривать как нуль (Institut. calc.
different., р. I. с. III). - Как это надо понимать, видно из изложенного
выше; бесконечно малая разность есть нуль лишь как определенное количество,
а не качественный нуль; а как нуль по количеству она скорее чистый момент
лишь отношения. Она не различие на некоторую величину. Но именно поэтому, с
одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми
величинами, также и приращениями или убываниями и разностями. Это
определение исходит из того, что к имеющейся сначала конечной величине
что-то прибавляется или что-то от нее отнимается, что производится некоторое
вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Но что
касается перехода от функции переменной величины к ее дифференциалу, то по
нему видно, что он совершенно другого характера, а именно, как уже было
разъяснено, он должен рассматриваться как сведение конечной функции к
качественному отношению ее количественных определений. - С другой стороны,
сразу бросается в глаза ошибочность утверждения, будто приращения сами по
себе - это нули и будто рассматриваются только их отношения; ведь нуль
вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление, стало быть,
хотя и доходит до отрицательности определенного количества и определенно
выражает эту отрицательность, однако в то же время не схватывает ее в ее
положительном значении качественных определений количества, которые, если
хотят вырвать их из отношения и брать их как определенные количества,
окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie des fonct. analyt. Introd.)
замечает относительно представления о пределах или последних отношениях,
что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока
они остаются конечными, это отношение не дает рассудку ясного и
определенного понятия, как только его члены становятся одновременно нулями.
- И в самом деле, рассудок должен выйти за пределы той чистой
отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть нули,
и понять их положительно как качественные моменты. - А то, что Эйлер (в
указанном месте 84 и ел.) прибавляет еще относительно данного [им ]
определения, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые
величины, которые якобы не что иное, как нули, тем не менее находятся в
отношении друг к другу, и потому для их обозначения пользуются не знаком
нуля, а другими знаками, - нельзя признать удовлетворительным. Он хочет это
обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями: в
первом мы обращаем внимание на разность, во втором - на частное, и, хотя
арифметическое отношение между двумя нулями [всегда] одинаково, это не
значит, что точно так же обстоит дело с геометрическим отношением; если
2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше второго,
третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании
этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и
по обычной арифметике п х 0 ° 0; следовательно, п: 1=0:0.- Однако именно
потому, что 2 : 1 или п: 1 есть отношение определенных количеств, ему не
соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.
рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, содержится
истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во
всей своей определенности. Поэтому, когда [высказывающие эти взгляды]
переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное
определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества,
и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом.
Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины
обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе
конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти
бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление
должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны,
низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения
или разности, а с другой - пренебрегает ими как определенными количествами
после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных
величин.
затруднения.
новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь
привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно
геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в математике
строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип
анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных
величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от
этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать
на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, ' например
естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более
понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия
(Begreifen). Поэтому нам придется говорить " лишь о стараниях достигнуть
строгости доказательств древних.
бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. -
Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит
об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми
разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в
дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при
этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а
именно простота метода и легкость действий. - Это способ, в котором
заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод
касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем
заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным
величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще
относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод
дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем
более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к
которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а
именно отношения производной функции к первоначальной.
Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том
применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и
интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики,
равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать
произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени,
только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими
разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное
положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения
или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть
отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы
покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать,
единственный интерес. -
лишь самое простое соображение: исходя из того же довода относительно
незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы
кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же
отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные
треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону
треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим
треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и
потому одно из приращений - как доходящее до касательной. Эти допущения
возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой
конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь
бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к
конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать,
ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при
таком способе действия во всей своей силе.
phil. nat. Ub. II. Lemma II, после propos. VII) - на изобретенную им
остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания
Прозоров Александр
Прозоров Александр
Зыков Виталий
Сертаков Виталий
Пехов Алексей
Корнев Павел