произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при
нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого
легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим
образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его
бесконечной разности, а если увеличить х и у , ровно настолько же, то
произведение переходит в сумму. Если от этого второго произведения отнять
первое,
целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения;
следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам
собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, -
произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к
имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие
неправильно.
подобным способом доказательства.
связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их
степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу
наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых
членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что
отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть
лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно
тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем
приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в
данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом
основании, что они малы;
существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам
торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник
которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает, что
пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж
показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом
ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался
указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов
[ряда] ввиду их относительной малости. - А именно известно, что в механике
членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается
определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с
моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением
сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части
некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого.
Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно
бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на
основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном,
оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены
ряда лишь как части некоторой
качественное определение, которое здесь важнее всего.
способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее
утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы
вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают
лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее
изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое
приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное
значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого
качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан
первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом,
остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной
малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или
ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд,
исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного
метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об
отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там
же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их
нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в
повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и
которое,
некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны
в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.
это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных
выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной
мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых
членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод не столько самой
природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными,
и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких,
в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для
упрощения и сокращения исчисления.
рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о
бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и
пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого
в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы
должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно
исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может
быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму
всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают с категории
приращения и разности функций, переменная величина которой получает
приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в
дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в
соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание,
почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного
количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке
зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в
которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное
качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что
они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству;
с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения,
которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых
дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении
дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем
примечании.
относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется
бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела
отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном
исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об
этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не
вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более
подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и
содержится указанная выше истинная категория качественного определения
отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx
и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само .-
следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма
исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он
извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента
обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот
предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать
некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с
одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем
дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое,
встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только
отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как
это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т.
д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной
определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта
категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции,
еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к
такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь
место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное
такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не
привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел
чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции
переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное
оперирование им.
которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины,
соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция
другой;
малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит
прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других
методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у + k fx
должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + gh2
и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и
второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух
Лондон Джек
Суворов Виктор
Маккефри Энн
Быков Василий
Лукин Евгений
Шилова Юлия