приращений. Отсюда видно, что А как определенное
вот представление о пределе должно принести ту пользу, что оно устранит
заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то же время быть не
действительным отношением, которое было бы = ",
приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы разность могла стать меньше
всякой данной разности. Более определенный смысл приближения относительно
того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже.
- Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и
как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное
различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще может
быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0. Если же
dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как это
и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность для предположения,
что h=0, предположения - единственно в основании k которого и получается
k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h = 0, то само
собой k также становится - 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при
условии, что приращение составляет h, - то надо было бы спросить, что же
такое р, которое есть совершенно определенное количественное значение. На
этот вопрос сразу же само собой получается простой, ясный ответ, что оно
коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает, -
некоторым определенным образом выведенная первая производная функция
первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как и в самом
деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая часть науки
дифференциального исчисления и непосредственно сама форма его, которая
называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их
бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что
кроме первого члена или, вернее, лишь коэффициента первого члена, все
остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря введению этих
приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и от
всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде всего
бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и от дальнейших, здесь
столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые
считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению.
Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т.
е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей
имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно достаточного,
что оно не что иное, как полученная путем разложения бинома производная
функция; об этом будет сказано во втором примечании. -Здесь же мы прежде
всего разберем ту путаницу, которую приведенное выше столь обычное в
изложениях пользование представлением о приближении внесло в понимание
собственной, качественной определенности того отношения, о котором прежде
всего шла речь.
исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после
этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь
поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь
утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то, что получается от
превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит
вся суть дела. - Так, например, в последнем отношении исчезают определенные
количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются в своем
существе: один - элементом ординаты, а другой - элементом абсциссы. Так как
[здесь] применяют способ представления, бесконечно приближающий одну
ординату к другой, то ранее различенная ордината переходит в другую
ординату, а ранее различенная абсцисса - в другую абсциссу; но по сути дела
ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса - в ординату. Ограничиваясь
этим примером переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты
необходимо брать не как отличие одной ординаты от другой, а скорее как
отличие или качественное определение величины относительно элемента
абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся в
отношении друг к другу. Различие, не будучи больше различием конечных
величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно свелось в
простую интенсивность, в определенность одного качественного момента
отношения сравнительно с другим.
что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или
приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным
количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел,
следовательно, не имеет здесь смысла отношения; он считается лишь тем
последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно
приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от
него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом,
бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью отличия (das
Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого, и
[ее ] качественная природа, сообразно которой dx есть по своему существу
определение отношения не к л, а к dy, отступает в представлении на задний
план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть относительно
dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx
находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения для геометров
важно прежде всего сделать понятным приближение величины к ее пределу и
держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого, с
которой оно не отличие и тем не менее все еще отличие. Но помимо всего
прочего приближение есть само по себе категория, ничего не говорящая и
ничего не делающая понятным; уже dx оставило приближение позади себя, оно не
близко и не есть нечто более близкое, и бесконечная близость сама есть лишь
отрицание близости и приближения.
разности рассматривались лишь со стороны определенного количества, которое в
них исчезает, и лишь как его 3 предел, их понимают как безотносительные
моменты. Из этого вытекало бы неприемлемое представление, будто в последнем
отношении допустимо приравнивать друг к другу, например, абсциссу и
ординату, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. -
Может казаться, что такое представление имеет место тогда, когда дуга
рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с
прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, нежели
элемент прямой линии. Может показаться еще более бессмысленным и
недопустимым, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т.
д., принимать quadra ta rotundis, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно
малую, за долю касательной и тем самым рассматривать ее как прямую линию. -
Однако такое рассмотрение следует по существу отличать от вызывающего
порицание смешения; оно имеет свое оправдание в том, что в треугольнике,
.имеющем своими сторонами элемент некоторой дуги и элементы ее абсциссы и
ординаты, отношение остается тем же, как если бы элемент дуги был элементом
прямой линии, касательной; углы, составляющие сущностное отношение, т. е.
отношение, которое сохраняется в этих элементах, когда абстрагируются от
присущих им конечных величин, суть те же. - Можно это выразить и так, что
прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между
ними при их бесконечности есть отношение между кривыми. Так как прямая
линия, согласно дефиниции, есть кратчайшее расстояние между двумя точками,
то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем
множестве различимого в этом расстоянии, чтб, стало быть, есть определение
определенного количества. Но это определение в ней исчезает, коща мы
принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; тем
самым исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное единственно лишь на
различии определенного количества. - Следовательно, как бесконечные, прямая
линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и
потому, на основании принятой дефиниции, не имеют больше и никакого
качественного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую.
определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно
безразличное утверждение, что бесконечно малые части одного и того же целого
равны между собой. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету,
т. е. к предмету, который обременен сущностной неравномерностью определения
величин, это утверждение приводит к содержащемуся в теореме высшей механики
своеобразно превратному положению, что в равные и притом бесконечно малые
промежутки времени проходят бесконечно малые части кривой в равномерном
движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в
равные конечные, т. е. существующие части времени, проходят конечные, т. е.
существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения,
которое как существующее неравномерно и признается таковым. Это положение
есть словесное выражение того, что должен означать собой аналитический член,
получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но,
впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние
математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления
бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными
предметами, в словах и положениях и изобразить их геометрически, главным
образом для того, чтобы применять их для доказательства теорем по обычному
способу. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину
предмета, например движения, получали, таким образом, предметное значение,
например значение скорости, ускоряющей силы и т. п. Они должны были,
согласно такому значению, доставлять правильные положения, физические
законы, и сообразно их аналитической связи должны были определяться и их
объективные связи и отношения, как, например, что в равномерно ускоренном
движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой
кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие
положения приводятся в новейшей, получившей аналитическую форму механике
исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том,
имеют ли они для себя и в самом себе реальный смысл, т. е. такой, которому
Курылев Олег
Земляной Андрей
Посняков Андрей
Сертаков Виталий
Пехов Алексей
Шилова Юлия