следовательно, круг соприкасается с кривой. Но тем самым устраняется также и
неравенство корней х или у квадратного уравнения. В квадратном же уравнении
с двумя одинаковыми корнями коэффициент члена, содержащего неизвестные в
первой степени, вдвое больше одного лишь корня; это дает нам уравнение,
посредством которого мы находим искомые определения. Этот способ следует
признать гениальным приемом истинно аналитического ума - приемом, с которым
не может сравниться принимаемая всецело ассерторически пропорциональность
подкасательной и ординаты якобы бесконечно малым так называемым приращениям
абсциссы и ординаты.
члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, есть то
же уравнение, которое находят посредством приема, применяемого
дифференциальным исчислением. Уравнение x1 - ax - b=0 после его
дифференцирования дает новое уравнение 2х - а=0, а дифференцирование х3 - рх
- 9=0 дает Зх2 - р = 0. Но здесь напрашивается замечание, что отнюдь не само
собой разумеется, что подобное производное уравнение также и правильно. При
уравнении с двумя переменными величинами, которые оттого, что они
переменные, не теряют характера неизвестных величин, получается, как мы
видели выше, лишь некоторое отношение, по той указанной простой причине, что
подстановка функций возведения в степень вместо самих степеней изменяет
значение обоих членов уравнения, и само по себе еще неизвестно, имеет ли еще
место между ними уравнение при таких измененных dy значениях. Уравнение , -
= Р выражает лишь то, что Р есть dy отношение, и не надо приписывать -
никакого другого реального смысла. Но об этом отношении = Р также еще
неизвестно, какому другому отношению оно равно; лишь такое уравнение,
пропорциональность, сообщает ему значение и смысл. - Так же как (что было
указано выше) значение, именуемое применением, берется извне, эмпирически,
так и в тех выведенных путем дифференцирования уравнениях, о которых идет
речь, для того чтобы знать, верны ли еще полученные уравнения, должно быть
известно из какого-то другого источника, имеют ли они одинаковые корни. Но
на это обстоятельство в учебниках не дается определенных и ясных указаний;
оно устраняется тем, что уравнение с одним неизвестным [х], приведенное к
нулю, тотчас же приравнивается к у, благодаря чему при дифференцировании dy
получается, конечно, --, одно лишь отношение. Исчисление функций, конечно,
должно иметь дело с функциями возведения в степень, а дифференциальное
исчисление - с дифференциалами, но из этого само по себе вовсе еще не
следует, что величины, дифференциалы или функции возведения в степень
которых мы берем, сами также должны быть лишь функциями других величин. И
кроме того, в теоретической части, там, где указывается, как должны быть
выведены дифференциалы, т. е. функции возведения в степень, еще нет и мысли
о том, что величины, оперировать с которыми, согласно такому способу их
выведения, она учит, сами должны быть функциями других величин.
отметить, что это отбрасывание имеет здесь тот смысл, что константа
безразлична для определения корней в случае их равенства, каковое
определение исчерпывается коэффициентом второго члена уравнения. Так, в
приведенном Декартом примере константа есть квадрат самих корней,
следовательно, корень может быть определен как из константы, так и из
коэффициентов, поскольку вообще константа, как и коэффициенты, есть функция
корней уравнения. В обычном изложении устранение так называемых констант
(связанных с прочими членами лишь посредством знаков +- и -) достигается
простым механизмом способа действия, состоящего в том, что для нахождения
дифференциала сложного выражения приращение приписывается лишь переменным
величинам и образованное благодаря этому выражение вычитается из
первоначального. Смысл констант и их отбрасывания, вопрос, в какой мере они
сами функции и служат ли они функциями по этому определению или нет, не
подвергается обсуждению.
относительно названий дифференцирования и интегрирования, сходное с тем,
которое мы сделали раньше относительно выражений "конечное" и "бесконечное",
а именно, что в их определении содержится скорее противоположное тому, что
обозначает это выражение. Дифференцирование означает полагание разностей; но
дифференцированием, наоборот, уменьшается число измерений уравнения и в
результате отбрасывания константы устраняется один из моментов
определенности; как мы уже отметили, корни переменной величины
приравниваются, их разность, следовательно, снимается. Напротив, при
интегрировании следует снова присоединить константу; уравнение благодаря
этому несомненно интегрируется, но в том смысле, что ранее снятая разность
корней восстанавливается, положенное равным снова дифференцируется. -
Обычный способ выражения содействует тому, что остается в тени существенная
сторона дела и все сводится к подчиненной и даже чуждой сути дела точке
зрения отчасти бесконечно малой разности, приращения и т. п., отчасти же
одной лишь разности вообще между данной и производной функцией, не обозначая
их специфического, т. е. качественного, различия.
исчислением, это механика; мимоходом мы уже коснулись значения различных
степенных функций, получающихся при элементарных уравнениях ее предмета,
движения; здесь я буду говорить о них непосредственно. Уравнение, а именно
математическое выражение просто равномерного движения с = - s/t или s = ct,
в котором пройденные пространства пропорциональны протекшим временам по
некоторой эмпирической единице с, величине скорости, не имеет смысла
дифференцировать; коэффициент с уже совершенно определен и известен, и здесь
не может иметь место никакое дальнейшее разложение в степенной рад. - Как
анализируется s = at2, уравнение падения тел, об этом мы уже упоминали выше;
первый член анализа ds/dt = 2at понимается и словесно, и, соответственно,
реально так, что он член некоторой суммы, (каковое представление мы уже
давно отклонили), одна часть движения, и притом та часть его, которая
приписывается силе инерции, т. е. просто равномерной скорости, таким
образом, будто в бесконечно малых частях времени движение равномерное, а в
конечных частях времени, т. е. в существующих на самом деле, -
неравномерное. Разумеется, /s = 2at, и значение а и t, взятых сами по себе,
известно, равно как известно и то, что тем самым положено определение
скорости равномерного движения:
2at есть часть движения как некоторой суммы, дает ложную видимость положения
физики. Самый множитель, а, эмпирическая единица - некоторое определенное
количество, как таковое, - приписывается тяготению; если здесь применяют
категорию силы тяготения, то нужно сказать, что, наоборот, как раз целое
s=at2 есть действие или, лучше сказать, закон тяготения. - Также верно и
выведенное из ds/dt=2at положение, что если бы прекратилось действие силы
тяжести, то тело со скоростью, достигнутой им в конце своего падения, прошло
бы во время, равное времени его падения, пространство вдвое большее
пройденного. - В этом положении заключается также и сама по себе превратная
метафизика: конец падения или конец той части времени, в которое падало
тело, всегда сам еще есть некоторая часть времени; если бы он не был частью
времени, то наступил бы покой, и, следовательно, не было бы никакой
скорости; скорость может быть измерена лишь по пространству, пройденному в
некоторую часть времени, а не в конце ее. Если же, кроме того, и в других
физических областях, где вовсе нет никакого движения, как, например, в
действии света (помимо того, что называют его распространением в
пространстве) и в определениях величин у цветов, применяют дифференциальное
исчисление, и первая [производная] функция некоторой квадратной функции
здесь
неуместный формализм выдумывания существования.
при падении тел; простейшим следующим за ним было бы движение, уравнением
которого было бы s=ct3, но такого рода движения не оказывается в природе; мы
не знали бы, что мог бы означать собой коэффициент с. Если это верно, то,
напротив, имеется движение, уравнение которого - s3 ° at2 - кеплеровский
закон движения тел Солнечной системы. И выяснение того, что здесь должна
означать первая производная функция -у и т. д., а также дальнейшая
непосредственная разработка этого уравнения путем дифференцирования,
открытие законов и определений указанного абсолютного движения, отправляясь
от этой исходной точки, должно бы, конечно, представлять собой интересную
задачу, в решении которой анализ явил бы себя в самом надлежащем блеске.
к элементарным уравнениям движения не представляет никакого реального
интереса; формальный же интерес проистекает из общего механизма исчисления.
Но иное значение приобретает разложение движения в отношении определения его
траектории; если последняя есть кривая и ее уравнение содержит более высокие
степени, то требуются переходы от прямолинейных функций как функций
возведения в степень к самим степеням, а так как первые должны быть выведены
из первоначального уравнения движения, содержащего фактор времени с
элиминированием времени, то этот фактор должен быть также низведен к тем
низшим функциям, которые получаются в результате разложения в ряд и из
которых можно выводить указанные уравнения линейных определений. Эта сторона
возбуждает интерес к другой части дифференциального исчисления.
специфическое определение дифференциального исчисления и показать это
определение на некоторых элементарных примерах. Это определение, как
оказалось, состоит в том, что из уравнения степенных функций находят
коэффициент члена разложения, так называемую первую [производную] функцию, и
что отношение, которое она есть, обнаруживают в моментах конкретного
предмета, и посредством полученного таким образом уравнения между обоими
отношениями определяются сами эти моменты. Следует немного рассмотреть и
принцип интегрального исчисления и установить, что получается из его
применения для специфического конкретного определения этого исчисления.
Сертаков Виталий
Контровский Владимир
Шидловский Дмитрий
Роллинс Джеймс
Корнев Павел
Сертаков Виталий