выступали соотношения чисел и связь божественных сил и природных стихий.
лежат в основе как природных процессов, так и жизни человеческой души.
Числовые отношения составляют самую сущность природы, и именно в этом
смысле пифагорейцы говорят, что "все есть число". Поэтому познание природы
возможно только через познание числа и числовых отношений41. Платон
ограничил значение числа, полагая, что последнее не само выражает сущность
всего существующего, а есть лишь путь к постижению этой сущности. Число,
как мы дальше увидим, Платон помещает как бы посредине между чувственным
миром и миром истинно сущего. Аристотель подверг критике пифагорейский
тезис "все есть число" с другой позиции, чем Платон. Если для пифагорейцев
математика лежит в фундаменте всякого знания о природе, то Аристотель в
корне переосмысливает соотношение математики и физики, создавая направление
научного исследования ("научную программу"), в корне отличное от
пифагорейского.
отношения чисел, но она являет также природу числа как единства предела и
беспредельного. Декада - это "предел" числа, ибо, перешагнув этот предел,
число вновь возвращается к единице. Но поскольку можно все время выходить
за пределы декады, поскольку она не кладет конца счету, то в ней
присутствует и беспредельное. В этом отношении декада есть как бы модель
всякого числа, числа вообще. Как мы уже отмечали, декада пифагорейцев
предстает также как священная четверица42, которая, по преданию, была
клятвой пифагорейцев.
числа включает в себя два момента. Во-первых, сходную с древневосточной и
древнегреческой традициями сакрализацию числа и соответствующую ей
тенденцию вскрывать десятиричную основу во всем существующем43. Во-вторых,
существенно новый подход к анализу священного числа с целью раскрыть в нем
возможные числовые отношения. При этом внимание направляется на внутренние
связи между числами, что приводит к установлению ими важнейших
математических положений.
священному и анализ реальных форм связей между числами - соединяются,
оказывается важным для генезиса математики как систематической теории. В
самом деле, во-первых, искомые и находимые связи между числами, числовые
пропорции выступают как основа и фундамент всех природных явлений и
процессов; во-вторых, поиски связей и единства всех возможных
закономерностей числа становятся для них центральной задачей исследования.
центре внимания пифагорейцев стоит вопрос об отношениях чисел, т.е. о
пропорциональных отношениях.
гармониями. Еще Пифагор, как утверждают многие свидетельства, открыл связь
числовых соотношений с музыкальной гармонией. Он обнаружил, что при
определенных соотношениях длин струн последние издают приятный
(гармонический) звук, а при других - неприятный (диссонанс). Приписываемое
Пифагору открытие возвращает нас к уже рассмотренной декаде и священной
четверице. "Пифагор открыл, - пишет А.О. Маковельский, - что если заставить
последовательно звучать целую струну, половину ее, две трети и три
четверти, то получим основной тон, октаву его, квинту и, наконец, кварту.
Таким образом, отношения, даваемые длиной струны, будут для октавы 1:2, для
квинты 2:3 и для кварты 3:4. Эти числа представляют прогрессию, в которой 4
термина и 3 интервала. Сумма терминов равна 10, а три последовательных
интервала, 2, 3/2, 4/2, 4/3, согласно чудесному открытию Пифагора, суть
интервалы октавы, квинты и кварты"44.
гармонических интервалов заслугой Пифагора или позднейших пифагорейцев45.
Нам лишь важно подчеркнуть, что это открытие сыграло большую роль для
дальнейшего развития науки о числе, поскольку утверждение "все есть число"
получило свой смысл благодаря тому, что числовые отношения обнаруживались в
самых разных процессах46. Гармония стала у пифагорейцев математическим
понятием, и, что важно, пифагорейская математика и философия оказались
проникнуты понятием гармонии. Это во многом объясняет специфические
особенности античного мышления. Не случайно Аристотель, говоря о
пифагорейцах, не отделяет их учение о гармонии от учения о числе. "...Они
(пифагорейцы. - П.Г.) видели в числах свойства и отношения, присущие
гармоническим сочетаниям. Так как, следовательно, все остальное явным
образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали
первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами
всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом"47.
сведения о том, насколько для пифагорейцев понятия "число" и "гармония"
внутренне связаны между собой. Весь космос, по Филолаю, образовался из двух
начал: предела и беспредельного. Эти начала противоположны. Как же могут
они между собой соединяться? С помощью гармонии, отвечает Филолай.
Гармония, по его определению, есть "соединение разнообразной смеси и
согласие разногласного"48. Согласие разногласного - это определение
гармонии в музыке и оно же, как видим, выступает в качестве основного
принципа устроения мира, в котором противоположности объединяются по
принципу музыкального созвучия, консонанса49.
противоположностей, то она и есть число, ибо число, как мы уже отмечали
выше, тоже возникает из беспредельного и предела. Печать возникновения из
этих противоположностей лежит на числах; они делятся на четные, в которых
возобладало беспредельное, и нечетные, где возобладал предел. Но и в каждом
из чисел независимо от этого их деления можно видеть присутствие в них
обоих начал, что мы уже отмечали применительно к числу 10.
сообщению Аристотеля, пифагорейцы на основании чисел составляли
представление о расположении небесных светил; в движении небесных тел они
видели еще одно подтверждение своего тезиса, что все в мире устроено "в
соответствии с числом". Аналогия между числовыми соотношениями в музыке и в
астрономии породила характерное для пифагорейцев представление о "гармонии
сфер". В раннем пифагореизме движение небесных светил - это как бы их танец
вокруг мирового огня, сопровождаемый музыкой, по красоте и гармоничности
превосходящей земную музыку настолько же, насколько небесные тела
совершеннее земных, а по мощи - настолько, насколько их масса и скорость
превосходят соответственно массу и скорость земных тел50.
увидели общие числовые пропорции, гармонические соотношения, познание
которых, согласно им, и есть познание сущности и устройства мироздания. Из
отрывков, которые древние свидетельства приписывают Филолаю, мы видим, что
пифагорейцы уже в V в. до н.э. размышляли над вопросом о возможности
познания и сформулировали положение, впоследствии ставшее кардинальным для
математического естествознания, а именно: точное знание возможно лишь на
основе математики. Вот слова, приписываемые Филолаю (Стобей Ecl. I prooem.
cor. 3): "Ибо природа числа есть то, что дает познание, направляет и
научает каждого относительно всего, что для него сомнительно и неизвестно.
В самом деле, если бы не было числа и его сущности, то ни для кого не было
бы ничего ясного ни в вещах самих по себе, ни в их отношениях друг к
другу"51. В этом фрагменте сформулирован тот принцип познания, который лег
в основу первой математической "программы". То, в чем не обнаруживается
"природа числа", не может быть предметом познания. То, что не содержит в
себе числа, является, по Филолаю, беспредельным, а беспредельное
непознаваемо.
получили в IV в. до н.э. теоретическое обоснование и весьма четкое
выражение в сочинениях Платона. У Платона же мы находим изложение
пифагорейского учения о числовых пропорциях геометрических величин, а также
систематизацию различных областей математического знания, соединение их в
единую систему наук. Развитие пифагорейской научной мысли в IV в. до н.э.
оказывается тесно связанным именно с Платоном и его школой. Крупнейший
математик-пифагореец Архит из Тарента был другом Платона, ученик Архита
Евдокс Книдский был связан с Академией и, по преданию, одно время учился у
Платона.
более детальный анализ учения о гармонии, мы будем вести, опираясь, помимо
других источников, на тексты Платона. Платон в своих диалогах часто дает
разъяснение математических понятий - может быть, наиболее близкое духу
пифагореизма.
математического мышления пифагорейцев, чтобы выяснить направление
дальнейшей эволюции понятия науки в античности.
принципиального различия между числами и вещами. "Во всяком случае, -
говорит Аристотель, - у них, по-видимому, число принимается за начало и в
качестве материи для вещей, и в качестве <выражения для> их состояний и
свойств..."52. Сами числа они еще не полностью отделяют от чувственных
вещей и поэтому еще близки к натурфилософам в своем отношении к
чувственному бытию53.
сообщает следующее: "...пифагорейцы признают одно - математическое - число,
только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности
состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них
это - не числа, состоящие из <отвлеченных> единиц, но единицам они
приписывают <пространственную> величину; а как получилась величина у
Панов Вадим
Доценко Виктор
Перумов Ник
Шилова Юлия
Шилова Юлия
Афанасьев Роман