поэтому в первом случае еще и качество линейности, а во втором - еще и
качество плоскости, дабы сумма как сумма малых линий оказалась линией, а как
сумма малых плоскостей - плоскостью.
обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех
представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по
себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним
средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом
аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле
уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее
основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам,
а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для
геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что
арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим
пространственным определениям линии, есть в то же время продупирование
плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12
линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12
плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных
величинах единица - одна и та же. Умножение линий на линии представляется
сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над
числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно однородны
с тем, во что они переходят, - с произведением, и изменяют лишь величину.
Напротив, то, чтб называлось бы умножением линии, как таковой, на линию -
это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum,
оно есть также ductus puncti in lineam, - есть не просто изменение величины,
но изменение ее как качественного определения пространственности, как
измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне
себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне
себя - некоторое целое пространство. То же самое получается, когда
представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение
подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении
(скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны
брать ту определенность понятия, которую мы (сформулировали как выход вовне
себя - качественное изменение - и которая арифметически есть умножение
единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). - К этому
можно |еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, что
представлялось бы умножением площади на площадь, возникает [видимость
различия между арифметическим и геометрическим [продуцированном таким
образом, что выход плоскости вовне себя |как ductus plani in planum давал бы
арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе,
следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим
определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея
своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне
количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование
настолько же формально, взятое как числовое определение, помноженное само на
себя, есть 3 3 3 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное
определение, удерживается на 3*3*3, так как пространство, [представляемое
как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной
границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою
истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы
иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна
сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера - s3
: t2), а другая, временная - арифметически. В чем состоит отличие
рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания,
теперь само собой ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании
качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это
качественное, равно как и бесконечно малое, дано лишь как множитель (в
арифметике) относительно произведения, как точка относительно линии, линия
относительно плоскости и т. д. Необходимый качественный переход от
дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина,
к непрерывному осуществляется как суммирование.
умножение, следовательно, переход от линейного к плоскостному определению,
это проще всего обнаруживается в том способе, каким, например, показывают,
что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на
половину высоты. Эта высота представляется лишь как численность некоторого
множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины
суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими [трапецию]
параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять
плоскость, но они линии, которые, следовательно, для того чтобы быть чем-то
плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избежать
трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать [в результате]
плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости, но равным образом за
бесконечно тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейности
параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой
прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены
арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же, но не
обязательно должна быть определена, а первый и последний член которой суть
указанные две параллельные линии; сумма такого ряда равна, как известно,
произведению этих параллельных линий на половинную численность членов. Это
последнее определенное количество называется численностью только лишь в
сравнении с представлением о бесконечно многих линиях; оно вообще есть
определенность величины чего-то непрерывного - высоты. Ясно, что то, что
называется суммой, есть также ductus lineae in lineam, умножение линейного
на линейное, согласно вышеуказанному определению - возникновение
плоскостного. В простейшем случае, в прямоугольнике, каждый из множителей аЬ
есть простая величина; но уже в другом, даже элементарном примере трапеции
лишь один множитель есть простая величина половины высоты, другой же
определяется через прогрессию; он также есть некоторое линейное, но такое
линейное, определенность величины которого оказывается более запутанной;
поскольку она может быть выражена лишь посредством ряда, ее аналитический,
т. е. арифметический, интерес состоит в ее суммировании; геометрический же
момент здесь - умножение, качественная сторона перехода от линейного
измерения к плоскостному; один из множителей принимается за дискретный лишь
в целях арифметического определения другого, а сам по себе он подобно
последнему есть линейная величина.
однако, часто и тогда, когда для достижения результата не производят
умножения, как такового. Так поступают, когда важно указать величину как
определенное количество не в уравнении, а в пропорции. Что площадь круга
относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого
круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая
из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая
ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга как малая ось к
большой, из чего заключают, что так же относятся между собой и суммы
ординат, т. е. площади.
линий, превращают с помощью обычного, совершенно излишнего вспомогательного
приема ординаты в трапеции бесконечно малой ширины; так как [здесь]
уравнение есть лишь пропорция, то [при этом ] сравнивается лишь один из двух
линейных элементов площади. Другой элемент площади - ось абсцисс -
принимается в эллипсе и круге за равный, как множитель арифметического
определения величины, следовательно, как равный 1, и поэтому пропорция
оказывается всецело зависящей только от отношения одного определяющего
момента. Чтобы представить плоскость, требуются два измерения; но
определение величины, как оно должно быть дано в этой пропорции, касается
только одного момента; поэтому уступка или помощь представлению тем, что к
этому одному моменту присоединяют представление суммы, есть, собственно
говоря, непонимание того, что здесь необходимо для математической
определенности.
неделимых, предложенного Кавальери; метод этот также оправдан этими
пояснениями, и ему нет надобности прибегать к помощи бесконечно малых. Эти
неделимые суть для Кавальери линии, когда он рассматривает площади или
квадраты, площади кругов, когда он рассматривает пирамиду или конус, и т.
д.; основную линию или основную площадь, принимаемую за определенную, он
называет правилом. Это константа, а по своему отношению к ряду это его
первый или последний член; неделимые рассматриваются как параллельные ей,
следовательно, по отношению к фигуре определяются одинаково. Общее
основоположение Кавальери гласит (Exerc. geometr. VI - позднейшее сочинение
Exerc. I, р. 6), что "все фигуры, и плоские, и телесные, относятся друг к
другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются122 между
собой совокупно, а если у них есть какая-либо общая пропорция, то в
отдельности". - Для этой цели он сравнивает в фигурах, имеющих одинаковые
основание и высоту, пропорции между линиями, проведенными параллельно
основанию и на равном расстоянии от него; все такие линии некоторой фигуры
имеют одинаковое определение и составляют всю ее площадь. Так Кавальери
доказывает, например, и ту элементарную теорему, что параллелограммы,
имеющие одинаковую высоту, относятся между собой, как их основания; каждые
две линии, проведенные в обеих фигурах на одинаковом расстоянии от основания
и параллельные ему, относятся между собой, как основания этих фигур;
следовательно, так же относятся между собой и целые фигуры. В
действительности линии не составляют площади фигуры как непрерывной, а
составляют эту площадь, поскольку она должна быть определена арифметически;
линейное - это тот ее элемент, единственно лишь посредством которого должна
быть постигнута ее определенность.
в чем состоит определенность какой-нибудь фигуры, а именно эта
определенность или такова, какова в данном случае высота фигуры, или она
Буджолд Лоис
Сертаков Виталий
Посняков Андрей
Свержин Владимир
Журавлев Владимир
Роллинс Джеймс