математики (точнее, математического анализа, понятого как основа и
фундамент математики11) как науки о бесконечном разделяют и многие
современные математики12. Но впервые проблема бесконечности стала предметом
обсуждения именно в школе элеатов. Зенон вскрыл противоречия, в которые
впадает мышление при попытке постигнуть бесконечное в понятиях. Его апории
- это первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного.
апории Зенона как первые шаги научного мышления вообще. Скорее можно
говорить о том, что апории Зенона были первым в истории кризисом оснований
науки, прежде всего математики. Для возникновения такого рода кризиса
оснований необходимо, чтобы научное знание достигло некоторого уровня,
чтобы уже сложилась - пусть и первая, и недостаточно логически
обоснованная, но именно теория как систематическая связь положений13. И
такая теория возникла ко времени Зенона: это была пифагорейская математика.
греческой математики" приходит к выводу, что учение элеатов в сущности
легло в основу греческой математики и стало, таким образом, отправным
пунктом в ее развитии, мы должны рассмотреть этот вопрос детальнее.
отличается от египетской и вавилонской тем, что в ней утверждения,
положения всегда доказываются, в то время как древневосточные тексты
математического содержания содержат только интересные инструкции, так
сказать, рецепты и часто примеры того, как надо решать определенную
математическую задачу. Анализируя структуру математического доказательства,
как оно дается в "Началах" Евклида, Сабо приходит к выводу, что
доказательство представляет собой способ удостоверения того или иного
положения, которое не желают (или не могут) удостоверить с помощью
наглядной демонстрации. Сабо допускает, что в более ранний период
математики доказывали свои утверждения, демонстрируя доступную созерцанию
фигуру, так что ядро доказательства составляла конкретная наглядная
демонстрация; в основе доказательства, таким образом, лежала эмпирическая и
наглядная очевидность. От такого рода доказательства Евклид, подчеркивает
Сабо, отказался. При этом речь идет, как полагает Сабо, не о простом
повороте от наглядных моделей к понятиям, а о "сознательном отказе от
созерцательного (наглядного)", о сознательном избегании просто наглядного.
В результате отказа от созерцания Евклид, говорит Сабо, прибегает к так
называемому косвенному выводу - доказательству от противного. "Оба эти
явления в греческой математике - отказ от эмпиризма и характерное
использование косвенного вывода - я свожу к решающему влиянию философии
элеатов"14, - пишет Сабо. Связь здесь вполне понятна: именно элеаты впервые
последовательно проводят мысль о том, что истинное знание может быть
получено только с помощью разума, а чувственное восприятие всегда
недостоверно.
впервые положила начало логической рефлексии относительно важнейших понятий
античной науки, и прежде всего математики. В этом смысле ее значение для
развития античной науки трудно переоценить. Именно после критики элеатов
начинается уяснение предпосылок греческой математики, которые у ранних
пифагорейцев, как мы видели, еще оставались непроясненными. Именно после
критики элеатов, впервые поставивших на обсуждение проблему бесконечности и
связанную с ней проблему континуума (пространства, времени, движения),
начинают складываться основные направления научной мысли Древней Греции.
исходя из исследования роли элеатов в становлении античной науки. Так,
например, анализируя первое определение VII книги "Начал" Евклида, где
вводится понятие единицы (mon¦V)15, Сабо приходит к заключению, что понятие
mon¦V могло появиться в античной математике только после элеатов. Он
подчеркивает, что даже терминологически "сущее" (t' 'n) и "Одно" (t' Ьn)
выступают у элеатов как взаимозаменяемые понятия. Но известно, что первое
определение VII книги Евклида почти полностью воспроизводит рассуждение
Пифагора о единице, как его передает Секст Эмпирик в книге "Против ученых"
(Х, 260-261)16. И не только из сообщения Секста, но и из других сообщений
древних известно, что понятие монады было одним из центральных в философии
ранних пифагорейцев и что, стало быть, им пользовались еще до элеатов.
начало развития науки, он вынужден отрицать существенный вклад ранних
пифагорейцев в развитие античной математики. "В каком смысле, - пишет он, -
можно вообще говорить о "соперничестве" между элеатами и пифагорейцами
(=арифметиками)? Как известно, элеаты допускали только существование
"сущего", "Одного" и отрицали, что существует множество, ибо они считали,
что можно доказать самопротиворечивость мышления также в понятии множества.
Но если отрицается множество, то арифметика вообще невозможна.
Следовательно, арифметики могли позаимствовать у элеатов понятие
"единства", но они уже не могли вслед за элеатами отклонить множество; они
должны были каким-то образом удержать множество, ибо без множества нет
арифметики. И, в самом деле, второе определение арифметики у Евклида
("Начала", кн. VII, определение 2) спасает именно понятие множества
благодаря тому, что оно гласит: "Число есть множество, составленное из
единств (из монад - Щc mon¦dwn)"17.
у элеатов понятие единицы (монады), но не могли следовать за ними в
отрицании множества, если хотели оставаться арифметиками. Зачем же, однако,
было арифметикам заимствовать понятие монады у элеатов, когда это понятие
уже было у ранних пифагорейцев, образовывавших число (множество) из единицы
и беспредельного? И само определение числа как множества, составленного из
монад (единиц, единств), - это его раннепифагорейское определение, которое
приводится и Евклидом в его арифметических книгах.
отличаются от элеатов; но было бы неверным, продолжает он, "говорить о их
"соперничестве", так как арифметики ведь отнюдь не оспаривали элеатовское
понятие "одного", они только развили его дальше..."18. В действительности,
у самих "арифметиков" (т.е. пифагорейцев) уже до элеатов было понятие
монады, причем в отличие от элеатов они не считали, что "единое" и "многое"
(множество) взаимно исключают друг друга - тезис, который выдвинули против
них элеаты. Именно элеаты впервые попытались показать, что понятие
множества несовместимо с понятием "одного", "единицы", а потому заставили
позднейших философов, в том числе и пифагорейцев, задуматься о том, как
возможно без противоречия мыслить число и какова его природа.
пять апорий, в которых Зенон анализирует понятия множества и движения.
Первую, получившую название "апория меры", Симпликий излагает следующим
образом: "Доказав, что, "если вещь не имеет величины, она не существует",
Зенон, прибавляет: "Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела
некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние
между тем, что представляет в ней взаимное различие". То же можно сказать о
предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в
дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую
величину и свое предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять.
Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных
друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи
были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь
величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными"19.
представления о том, что тела "состоят из чисел". В самом деле, если
мыслить число как точку, не имеющую величины ("толщины", протяженности), то
сумма таких точек (тело) тоже не будет иметь величины, если же мыслить
число "телесно", как имеющее некоторую конечную величину, то, поскольку
тело содержит бесконечное количество таких точек (ибо тело, по допущению
Зенона, можно делить "без предела"), оно должно иметь бесконечную величину.
Из этого следует, что невозможно мыслить тело в виде суммы неделимых
единиц, как это мы видели у пифагорейцев.
то она не имеет пространственной величины (точки); если же она имеет
величину, пусть как угодно малую, то она делима до бесконечности. Элеаты
впервые поставили перед наукой вопрос, который является одним из важнейших
методологических вопросов и по сей день20: как следует мыслить континуум -
дискретным или непрерывным? состоящим из неделимых (единиц, "единств",
монад) или же делимым до бесконечности? Любая величина должна быть понята
теперь с точки зрения того, состоит ли она из единиц (как арифметическое
число пифагорейцев), неделимых "целых", или она сама есть целое, а
составляющие ее элементы самостоятельного существования не имеют. Этот
вопрос ставится и по отношению к числу, и по отношению к пространственной
величине (линии, плоскости, объему), и по отношению к времени. В
зависимости от решения проблемы континуума формируются и разные методы
изучения природы и человека, т.е. разные научные программы.
противоречивость понятия "множества". Теперь перейдем к тем апориям, где
обсуждается возможность мыслить движение. Мы увидим, что здесь в основе
лежит тоже проблема континуума. Наиболее известны четыре апории этого рода:
"Дихотомия", "Ахиллес и черепаха", "Стрела" и "Стадий". Кратко их
содержание передает Аристотель в "Физике": "Есть четыре рассуждения Зенона
о движении, доставляющие большие затруднения тем, которые хотят их
разрешить. Первое, о несуществовании движения на том основании, что
перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца...
Второе, так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо более
медленное в беге никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо
преследующему необходимо раньше придти в место, откуда уже двинулось
убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество...
Конан-Дойль Артур
Прозоров Александр
Мороз Александра
Володихин Дмитрий
Смит Кордвейнер
Андреев Николай