интуитивной и мало расчлененной форме уже оперировали понятиями
дифференциала, интеграла и производной.
издавна. Можно указать, например, работу M.Simon "Geschichte der Mathematik
im Altertum" Berl., 1909. Здесь доказывается, что атом Демокрита есть
дифференциал массы, что объем тела у него есть "интеграл, сумма бесконечно
малых призм", что Демокрит, во всяком случае, занимался проблемой
непрерывности (на это указывает название не дошедшего до нас его сочинения
"Об иррациональных отрезках прямой и континууме, nastzn", что метод
Демокрита напоминает Кавальери и что Демокрит пока еще не смог "доказать"
правильности и необходимости применения инфинитезимального метода, но он его
уже "указал", что Демокрит "соединил" учение пифагорейцев о пустоте,
Эмпедокла - о порах и Анаксагора - о бесконечно малых в общее учение о
дифференциале массы, пространства и движения. И.Л.Гейберг тоже пишет о
Демокрите: "...многое заставляет предполагать в нем предшественника Архимеда
в области исчисления бесконечно малых"99. Необходимо указать также на работу
R.Phillppson "Democritea" ("Hermes", 64 Bd. 1929, стр. 175 - 183), где тоже
устанавливается наличие у Демокрита учения о бесконечно малых. Новейшей в
этой области является работа J.Mau "Zum Problem des Infinitesimalen bei den
antiken Atomisten", Berl., 1957, где в убедительной форме доказывается
наличие идеи бесконечно малых у греческих атомистов и обсуждается полемика
последних с элеатами.
Entwicklung des Infinitesimalbegriffs" (Philologus, Berl., 76, 1920, стр.
355 - 359) доказывает, на основании известного текста Плутарха, что
Демокрит, разделяя конус на параллельные пластинки, не смог получить
образующей конуса в виде прямой линии и что, следовательно, понятия
дифференциала и интеграла были ему чужды. Открытие бесконечно малых E.Hoppe
приписывает Платону, используя учение последнего о беспредельном в "Филебе"
(17 А, 18 А, 24 А, 25 В, 27 1"). Возражал против идеи бесконечно малых у
атомистов и E.Frank в работе "Plato und die sogenannten Pythagoreer".
учение греческих атомистов с точки зрения математического анализа, подвергая
обстоятельной критике дошедшие до нас источники по этому вопросу. Здесь мы
укажем основной труд С.Я.Лурье из этой области "Теория бесконечно малых у
древних атомистов" (М. - Л., 1935)100. Вопроса о бесконечно малых у
атомистов кратко касается и А.О.Маковельский в "Древнегреческих атомистах"
(Баку, 1946), И.Г.Башмакова в своих "Лекциях по истории математики в древней
Греции" ("Историко-математические исследования", вып. ХI, под ред.
Г.Ф.Рыбкина и А.П.Юшкевича. М., 1958, стр. 331). Учитывая те трудности,
которые возникали у Демокрита в его учении о конечной делимости на путях
математического анализа, она совершенно правильно пишет: "И все же в
концепции Демокрита содержалась чрезвычайно плодотворная мысль, которая
впервые по-настоящему была оценена только Архимедом. Мы говорим о выдвинутом
им принципе составления тел из большого числа маленьких частиц, размеры
которых известны. В этом можно видеть зародышевую формулу интеграционных
методов". Необходимо, наконец, указать на весьма ценное освещение
математической проблематики у Демокрита, данное В.Ф.Асмусом в его работе
"Демокрит" (М., 1960, стр. 35 - 41).
постоянной опоры на чувственные и, в частности, зрительные восприятия -
также и художественными материалистами. Атомисты, как и вообще все античные
философы, очень любят всякого рода образы, художественные представления,
иллюстрации, при этом они вводят их даже там, где мы ожидали бы чисто
отвлеченную мысль или точную научную формулу. Говорится, например, что атомы
плавают в воздухе наподобие пылинок в световом луче. Особенно такого рода
образы любил Лукреций.
отбросить. Это было бы совершенно антиисторично. Тем не менее было бы
неверно в анализе античного атомизма ограничиваться только наглядными
картинами вроде первоначального вихря атомов, их столкновения и взаимного
отталкивания, их плавания по какому-то воздуху и т.д. Такие образы и
картины, как они ни ценны, являются недостаточными даже и для Анаксимандра,
для Гераклита, для Анаксагора и для всех прочих греческих натурфилософов,
которые предшествовали атомистам и во многих отношениях были наивнее их.
Сквозь иллюстративную картинность, которая нам весьма пригодится в анализе
атомистической эстетики, надо видеть великие философские идеи.
нерасчлененность теоретических рассуждений, постоянное предпочтение
целостности всяким рассудочным и чересчур расчлененным подходам - все это
может иметь для нас значение только при том условии, если мы за всей
наглядностью и непосредственностью классического античного мышления не будем
пропускать тех великих философских идей, которые, по известному суждению
Энгельса, предвосхитили все то, что последующие культуры давали уже в
расчлененном виде. Поэтому не нужно удивляться, что даже у ранних греческих
философов мы находим и зачатки теории эволюции, и зачатки математического
учения о множествах, и вполне определенное предчувствие идей математического
анализа, и учение о неэвклидовости пространства, и учение о всеобщей связи
явлений, и акустику с правильным соотношением тонов, и диалектику с учением
об единстве противоположностей, и т.д.101.
от учения о вещах, философию от астрономии, геометрию от физики или
математический анализ от летания пылинок по воздуху, механику от органики.
Поэтому прямо приписывать греческим атомистам, например, учение о бесконечно
малых совершенно нецелесообразно, хотя интуитивных предчувствий этой науки у
них можно находить сколько угодно. Бесплодно спорить о том, физичен ли
античный атом или геометричен. Физика и геометрия не различались тут
настолько резко, чтобы можно было ставить всерьез такого рода вопросы.
между различными направлениями античной мысли. Возьмем, например, вопрос о
соотношении философии Демокрита и Платона. Если мы скажем, что у Демокрита
мир составляется из атомов, а у Платона не составляется, - это будет
совершенно неправильно. Разница в этом отношении между обоими мыслителями
заключается только в том, что Демокрит составлял мир из телесных атомов, а
Платон - из атомов плоскостных (а был еще Ксенократ, который составлял мир
из линий). При этом, как показывает филологическое исследование, Платон свои
идеальные сущности вовсе не называл идеями, а Демокрит, как мы знаем, свои
атомы называл идеями (конечно, чисто материальными). Поэтому сторонником
учения об идеях был вовсе не Платон, а Демокрит. Платон же свои идеальные
сущности именовал другими терминами. Нет никакого различия между Платоном и
Демокритом также и в отношении признания бытия богов. У атомистов боги
существуют в виде предельных обобщений материальных стихий, они ведут
блаженную жизнь вне всяких треволнений и вне всякого воздействия на мир в
междумирных пространствах. Лукреций даже утверждает, что было бы
неблагочестиво признавать, что боги беспокоят себя воздействием на мир.
Поэтому атомисты выступают против религии, но не против богов, которые у них
тоже состоят из атомов. Они не атеисты, а деисты. Точно так же не очень
отчетливы различия между Демокритом и Платоном в представлениях о
непрерывности движения, о функциональных взаимоотношениях, о пределе, об
инфинитезимальных процессах. Все это в более или менее явной форме
присутствует у обоих мыслителей, и не на этом надо делать акцент в анализе
принципиального расхождения обоих философов. Единственное глубокое различие
между ними заключается в том, что Демокрит, как представитель
натурфилософии, принципиально не отличает дух и материю. Дух для него - это
та же самая материя, только иначе организованная и другого типа. Совсем
другое у Платона, который резко разграничил обе эти области и поставил дух
над материей, представляя последнюю в виде некой темницы для духа, иной раз,
может быть, и прекрасной, но если брать ее в чистом виде, то совершенно
бессмысленной. Вот в чем подлинное различие двух великих философов. Учение
же об атомах было и у того и у другого; и о различном построении этого
учения можно судить только с точки зрения той принципиальной несовместимости
обеих философских теорий, на которые мы сейчас указали.
изложения атомистики, который применялся выше. А именно, всякую философскую
систему и всякое творчество вообще можно оценить только в том случае, если
не ограничиваться буквальным его переложением, а продумать его до его
логического конца, независимо от того, содержится ли эта завершенная логика
в изучаемом научном, художественном или философском творчестве или не
содержится. Гете, например, не считал себя филистером; но Энгельс, продумав
творчество Гете до конца, пришел к выводу, что оно есть соединение
гениальности и филистерства. Лев Толстой не думал, что он изображает русское
крестьянство или русское общество кануна революции. А Ленин, продумав
творчество Льва Толстого до конца, пришел к выводу, что этот граф изобразил
именно канун русской революции. Продумывание творчества мыслителей или
художников до их логического конца только и может обеспечить правильную
критическую оценку их произведений, впервые позволяя установить, в чем они
успели и в чем не успели, а если успели, то до какой степени. Левкипп и
Демокрит не думали, что они оперируют такими понятиями, как предел,
постоянная и переменная величина, дифференциал или интеграл, первообразная
или производная функция и т.д. Однако, логическое продумывание всех их
принципов до конца устанавливает, что только на основе этих категорий
математического анализа и можно было создать подробную атомистическую
систему. При этом научно-критическое употребление этих понятий у античных
атомистов почти целиком отсутствовало, но интуитивно они пользовались ими
почти в каждом ответственном моменте своего философствования. То же
необходимо сказать и о таких понятиях, выдвинутых греческими
натурфилософами, как математическое множество, структура, бесконечное и
конечное, континуум и пр. 3. Основной принцип атомизма
Афанасьев Роман
Володихин Дмитрий
Посняков Андрей
Жюль Верн
Белогорский Евгений
Шилова Юлия